Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7239 / 10859
↖ ↑ ↗
← S 50.443513°
W 20.939941°		 ← 1 555.93 m → S 50.443513°
W 20.917969°		 →
↑
1 555.73 m
↓
↑
1 555.73 m
↓
S 50.457504°
W 20.939941°		 ← 1 555.47 m →
2 420 262 m²		 S 50.457504°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441864013671875 y=0.662811279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441864013671875 × 214)
    floor (0.441864013671875 × 16384)
    floor (7239.5)     		tx = 7239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662811279296875 × 214)
    floor (0.662811279296875 × 16384)
    floor (10859.5)     		ty = 10859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7239 / 10859 ti = "14/7239/10859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7239/10859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7239 ÷ 214
    7239 ÷ 16384     		x = 0.44183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10859 ÷ 214
    10859 ÷ 16384     		y = 0.66278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.3255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02278169029352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36547092} λ = -0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02278169029352))-π/2
    2×atan(0.359593270541346)-π/2
    2×0.345195468887693-π/2
    0.690390937775385-1.57079632675     		φ = -0.88040539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88040539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.443513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7239 KachelY 10859 -0.36547092 -0.88040539 -20.939941 -50.443513
    Oben rechts KachelX + 1 7240 KachelY 10859 -0.36508743 -0.88040539 -20.917969 -50.443513
    Unten links KachelX 7239 KachelY + 1 10860 -0.36547092 -0.88064958 -20.939941 -50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 7240 KachelY + 1 10860 -0.36508743 -0.88064958 -20.917969 -50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88040539--0.88064958) × R
    0.000244190000000089 × 6371000     		dl = 1555.73449000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88040539--0.88064958) × R
    0.000244190000000089 × 6371000     		dr = 1555.73449000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36547092--0.36508743) × cos(-0.88040539) × R
    0.000383489999999986 × 0.636838642017977 × 6371000     		do = 1555.93358902178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36547092--0.36508743) × cos(-0.88064958) × R
    0.000383489999999986 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 1555.47355911552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88040539)-sin(-0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636838642017977-0.636650353248546)×R²
    abs(-0.36508743--0.36547092)×0.000188288769431888×R²
    0.000383489999999986×0.000188288769431888×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188288769431888×40589641000000     		ar = 2420261.71842154m²