Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72388 / 96500
↖ ↑ ↗
← S 64.458587°
E 18.819580°		 ← 131.66 m → S 64.458587°
E 18.822326°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
S 64.459771°
E 18.819580°		 ← 131.66 m →
17 338 m²		 S 64.459771°
E 18.822326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552280426025391 y=0.736240386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552280426025391 × 217)
    floor (0.552280426025391 × 131072)
    floor (72388.5)     		tx = 72388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736240386962891 × 217)
    floor (0.736240386962891 × 131072)
    floor (96500.5)     		ty = 96500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72388 / 96500 ti = "17/72388/96500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72388/96500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72388 ÷ 217
    72388 ÷ 131072     		x = 0.552276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96500 ÷ 217
    96500 ÷ 131072     		y = 0.736236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552276611328125 × 2 - 1) × π
    0.10455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32846364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.47247314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48431815983542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32846364} λ = 0.32846364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48431815983542))-π/2
    2×atan(0.226656831732832)-π/2
    2×0.222890877979354-π/2
    0.445781755958707-1.57079632675     		φ = -1.12501457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32846364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12501457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.458587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72388 KachelY 96500 0.32846364 -1.12501457 18.819580 -64.458587
    Oben rechts KachelX + 1 72389 KachelY 96500 0.32851157 -1.12501457 18.822326 -64.458587
    Unten links KachelX 72388 KachelY + 1 96501 0.32846364 -1.12503524 18.819580 -64.459771
    Unten rechts KachelX + 1 72389 KachelY + 1 96501 0.32851157 -1.12503524 18.822326 -64.459771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12501457--1.12503524) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12501457--1.12503524) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32846364-0.32851157) × cos(-1.12501457) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.431163370714054 × 6371000     		do = 131.660922142814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32846364-0.32851157) × cos(-1.12503524) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.431144720620927 × 6371000     		du = 131.655227112517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12501457)-sin(-1.12503524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431163370714054-0.431144720620927)×R²
    abs(0.32851157-0.32846364)×1.86500931277367e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86500931277367e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86500931277367e-05×40589641000000     		ar = 17337.8635772102m²