Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72385 / 78913
↖ ↑ ↗
← S 34.454484°
E 18.811341°		 ← 251.79 m → S 34.454484°
E 18.814087°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 34.456748°
E 18.811341°		 ← 251.79 m →
63 396 m²		 S 34.456748°
E 18.814087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552257537841797 y=0.602062225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552257537841797 × 217)
    floor (0.552257537841797 × 131072)
    floor (72385.5)     		tx = 72385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602062225341797 × 217)
    floor (0.602062225341797 × 131072)
    floor (78913.5)     		ty = 78913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72385 / 78913 ti = "17/72385/78913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72385/78913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72385 ÷ 217
    72385 ÷ 131072     		x = 0.552253723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78913 ÷ 217
    78913 ÷ 131072     		y = 0.602058410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552253723144531 × 2 - 1) × π
    0.104507446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.32831983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602058410644531 × 2 - 1) × π
    -0.204116821289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.641251906217491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32831983} λ = 0.32831983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641251906217491))-π/2
    2×atan(0.526632716411158)-π/2
    2×0.484726075847526-π/2
    0.969452151695053-1.57079632675     		φ = -0.60134418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32831983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.811341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60134418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.454484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72385 KachelY 78913 0.32831983 -0.60134418 18.811341 -34.454484
    Oben rechts KachelX + 1 72386 KachelY 78913 0.32836776 -0.60134418 18.814087 -34.454484
    Unten links KachelX 72385 KachelY + 1 78914 0.32831983 -0.60138370 18.811341 -34.456748
    Unten rechts KachelX + 1 72386 KachelY + 1 78914 0.32836776 -0.60138370 18.814087 -34.456748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60134418--0.60138370) × R
    3.95199999999596e-05 × 6371000     		dl = 251.781919999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60134418--0.60138370) × R
    3.95199999999596e-05 × 6371000     		dr = 251.781919999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32831983-0.32836776) × cos(-0.60134418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.824575888402064 × 6371000     		do = 251.794167171662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32831983-0.32836776) × cos(-0.60138370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.824553529264297 × 6371000     		du = 251.787339539964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60134418)-sin(-0.60138370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824575888402064-0.824553529264297)×R²
    abs(0.32836776-0.32831983)×2.23591377672694e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.23591377672694e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.23591377672694e-05×40589641000000     		ar = 63396.3593264473m²