Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72384 / 77376
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
E 18.808594°		 ← 262.07 m → S 30.902225°
E 18.811341°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
S 30.904581°
E 18.808594°		 ← 262.06 m →
68 672 m²		 S 30.904581°
E 18.811341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552249908447266 y=0.590335845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552249908447266 × 217)
    floor (0.552249908447266 × 131072)
    floor (72384.5)     		tx = 72384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590335845947266 × 217)
    floor (0.590335845947266 × 131072)
    floor (77376.5)     		ty = 77376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72384 / 77376 ti = "17/72384/77376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72384/77376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72384 ÷ 217
    72384 ÷ 131072     		x = 0.55224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77376 ÷ 217
    77376 ÷ 131072     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32827189} λ = 0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72384 KachelY 77376 0.32827189 -0.53934557 18.808594 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 72385 KachelY 77376 0.32831983 -0.53934557 18.811341 -30.902225
    Unten links KachelX 72384 KachelY + 1 77377 0.32827189 -0.53938670 18.808594 -30.904581
    Unten rechts KachelX + 1 72385 KachelY + 1 77377 0.32831983 -0.53938670 18.811341 -30.904581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.53938670) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dl = 262.039229999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.53938670) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dr = 262.039229999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32827189-0.32831983) × cos(-0.53934557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 262.069017987412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32827189-0.32831983) × cos(-0.53938670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858023839639805 × 6371000     		du = 262.062566159457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.53938670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.858023839639805)×R²
    abs(0.32831983-0.32827189)×2.11240478791286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11240478791286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11240478791286e-05×40589641000000     		ar = 68671.5183738684m²