Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72380 / 78740
↖ ↑ ↗
← S 34.061761°
E 18.797607°		 ← 253.03 m → S 34.061761°
E 18.800354°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 34.064037°
E 18.797607°		 ← 253.02 m →
64 029 m²		 S 34.064037°
E 18.800354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552219390869141 y=0.600742340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552219390869141 × 217)
    floor (0.552219390869141 × 131072)
    floor (72380.5)     		tx = 72380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600742340087891 × 217)
    floor (0.600742340087891 × 131072)
    floor (78740.5)     		ty = 78740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72380 / 78740 ti = "17/72380/78740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72380/78740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72380 ÷ 217
    72380 ÷ 131072     		x = 0.552215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78740 ÷ 217
    78740 ÷ 131072     		y = 0.600738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552215576171875 × 2 - 1) × π
    0.10443115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32808014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.20147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.632958822583221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32808014} λ = 0.32808014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632958822583221))-π/2
    2×atan(0.531018285383183)-π/2
    2×0.488153221013331-π/2
    0.976306442026662-1.57079632675     		φ = -0.59448988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32808014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.797607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59448988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.061761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72380 KachelY 78740 0.32808014 -0.59448988 18.797607 -34.061761
    Oben rechts KachelX + 1 72381 KachelY 78740 0.32812808 -0.59448988 18.800354 -34.061761
    Unten links KachelX 72380 KachelY + 1 78741 0.32808014 -0.59452960 18.797607 -34.064037
    Unten rechts KachelX + 1 72381 KachelY + 1 78741 0.32812808 -0.59452960 18.800354 -34.064037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59448988--0.59452960) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59448988--0.59452960) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32808014-0.32812808) × cos(-0.59448988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.828434317801636 × 6371000     		do = 253.025164555794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32808014-0.32812808) × cos(-0.59452960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.828412070523224 × 6371000     		du = 253.018369664322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59448988)-sin(-0.59452960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828434317801636-0.828412070523224)×R²
    abs(0.32812808-0.32808014)×2.22472784112693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22472784112693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22472784112693e-05×40589641000000     		ar = 64028.7066685766m²