Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72378 / 75870
↖ ↑ ↗
← S 27.288808°
E 18.792114°		 ← 271.38 m → S 27.288808°
E 18.794861°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 27.291248°
E 18.792114°		 ← 271.37 m →
73 652 m²		 S 27.291248°
E 18.794861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552204132080078 y=0.578845977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552204132080078 × 217)
    floor (0.552204132080078 × 131072)
    floor (72378.5)     		tx = 72378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578845977783203 × 217)
    floor (0.578845977783203 × 131072)
    floor (75870.5)     		ty = 75870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72378 / 75870 ti = "17/72378/75870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72378/75870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72378 ÷ 217
    72378 ÷ 131072     		x = 0.552200317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75870 ÷ 217
    75870 ÷ 131072     		y = 0.578842163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552200317382812 × 2 - 1) × π
    0.104400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32798427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578842163085938 × 2 - 1) × π
    -0.157684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.49537992067366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32798427} λ = 0.32798427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.49537992067366))-π/2
    2×atan(0.609339362693641)-π/2
    2×0.547258393321702-π/2
    1.0945167866434-1.57079632675     		φ = -0.47627954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32798427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.792114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47627954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.288808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72378 KachelY 75870 0.32798427 -0.47627954 18.792114 -27.288808
    Oben rechts KachelX + 1 72379 KachelY 75870 0.32803220 -0.47627954 18.794861 -27.288808
    Unten links KachelX 72378 KachelY + 1 75871 0.32798427 -0.47632214 18.792114 -27.291248
    Unten rechts KachelX + 1 72379 KachelY + 1 75871 0.32803220 -0.47632214 18.794861 -27.291248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47627954--0.47632214) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47627954--0.47632214) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32798427-0.32803220) × cos(-0.47627954) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888706810961167 × 6371000     		do = 271.37731586978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32798427-0.32803220) × cos(-0.47632214) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888687279078963 × 6371000     		du = 271.371351574581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47627954)-sin(-0.47632214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888706810961167-0.888687279078963)×R²
    abs(0.32803220-0.32798427)×1.95318822038271e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95318822038271e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95318822038271e-05×40589641000000     		ar = 73652.2425053754m²