Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72369 / 75903
↖ ↑ ↗
← S 27.369328°
E 18.767395°		 ← 271.18 m → S 27.369328°
E 18.770141°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
S 27.371767°
E 18.767395°		 ← 271.17 m →
73 547 m²		 S 27.371767°
E 18.770141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552135467529297 y=0.579097747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552135467529297 × 217)
    floor (0.552135467529297 × 131072)
    floor (72369.5)     		tx = 72369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579097747802734 × 217)
    floor (0.579097747802734 × 131072)
    floor (75903.5)     		ty = 75903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72369 / 75903 ti = "17/72369/75903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72369/75903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72369 ÷ 217
    72369 ÷ 131072     		x = 0.552131652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75903 ÷ 217
    75903 ÷ 131072     		y = 0.579093933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552131652832031 × 2 - 1) × π
    0.104263305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.32755284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579093933105469 × 2 - 1) × π
    -0.158187866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.496961838361122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32755284} λ = 0.32755284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496961838361122))-π/2
    2×atan(0.608376200001036)-π/2
    2×0.546555717887507-π/2
    1.09311143577501-1.57079632675     		φ = -0.47768489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32755284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.767395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47768489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.369328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72369 KachelY 75903 0.32755284 -0.47768489 18.767395 -27.369328
    Oben rechts KachelX + 1 72370 KachelY 75903 0.32760077 -0.47768489 18.770141 -27.369328
    Unten links KachelX 72369 KachelY + 1 75904 0.32755284 -0.47772746 18.767395 -27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 72370 KachelY + 1 75904 0.32760077 -0.47772746 18.770141 -27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47768489--0.47772746) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47768489--0.47772746) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32755284-0.32760077) × cos(-0.47768489) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888061614383885 × 6371000     		do = 271.180297333192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32755284-0.32760077) × cos(-0.47772746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 271.174321009092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47768489)-sin(-0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888061614383885-0.88804204310942)×R²
    abs(0.32760077-0.32755284)×1.95712744650578e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95712744650578e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95712744650578e-05×40589641000000     		ar = 73546.939016718m²