Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72367 / 78711
↖ ↑ ↗
← S 33.995750°
E 18.761902°		 ← 253.22 m → S 33.995750°
E 18.764649°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
S 33.998027°
E 18.761902°		 ← 253.22 m →
64 111 m²		 S 33.998027°
E 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552120208740234 y=0.600521087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552120208740234 × 217)
    floor (0.552120208740234 × 131072)
    floor (72367.5)     		tx = 72367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600521087646484 × 217)
    floor (0.600521087646484 × 131072)
    floor (78711.5)     		ty = 78711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72367 / 78711 ti = "17/72367/78711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72367/78711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72367 ÷ 217
    72367 ÷ 131072     		x = 0.552116394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78711 ÷ 217
    78711 ÷ 131072     		y = 0.600517272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552116394042969 × 2 - 1) × π
    0.104232788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.32745696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600517272949219 × 2 - 1) × π
    -0.201034545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.63156865249424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32745696} λ = 0.32745696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63156865249424))-π/2
    2×atan(0.531757004473848)-π/2
    2×0.488729277422771-π/2
    0.977458554845542-1.57079632675     		φ = -0.59333777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32745696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.761902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59333777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.995750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72367 KachelY 78711 0.32745696 -0.59333777 18.761902 -33.995750
    Oben rechts KachelX + 1 72368 KachelY 78711 0.32750490 -0.59333777 18.764649 -33.995750
    Unten links KachelX 72367 KachelY + 1 78712 0.32745696 -0.59337751 18.761902 -33.998027
    Unten rechts KachelX + 1 72368 KachelY + 1 78712 0.32750490 -0.59337751 18.764649 -33.998027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59333777--0.59337751) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dl = 253.183540000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59333777--0.59337751) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dr = 253.183540000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32745696-0.32750490) × cos(-0.59333777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829079048787096 × 6371000     		do = 253.222081994129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32745696-0.32750490) × cos(-0.59337751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829056828250299 × 6371000     		du = 253.215295270234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59333777)-sin(-0.59337751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829079048787096-0.829056828250299)×R²
    abs(0.32750490-0.32745696)×2.2220536797346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2220536797346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2220536797346e-05×40589641000000     		ar = 64110.8039905778m²