Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72367 / 78706
↖ ↑ ↗
← S 33.984364°
E 18.761902°		 ← 253.26 m → S 33.984364°
E 18.764649°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 33.986641°
E 18.761902°		 ← 253.25 m →
64 136 m²		 S 33.986641°
E 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552120208740234 y=0.600482940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552120208740234 × 217)
    floor (0.552120208740234 × 131072)
    floor (72367.5)     		tx = 72367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600482940673828 × 217)
    floor (0.600482940673828 × 131072)
    floor (78706.5)     		ty = 78706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72367 / 78706 ti = "17/72367/78706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72367/78706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72367 ÷ 217
    72367 ÷ 131072     		x = 0.552116394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78706 ÷ 217
    78706 ÷ 131072     		y = 0.600479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552116394042969 × 2 - 1) × π
    0.104232788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.32745696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600479125976562 × 2 - 1) × π
    -0.200958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.63132896799614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32745696} λ = 0.32745696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63132896799614))-π/2
    2×atan(0.53188447366016)-π/2
    2×0.488828642777915-π/2
    0.97765728555583-1.57079632675     		φ = -0.59313904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32745696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.761902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59313904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.984364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72367 KachelY 78706 0.32745696 -0.59313904 18.761902 -33.984364
    Oben rechts KachelX + 1 72368 KachelY 78706 0.32750490 -0.59313904 18.764649 -33.984364
    Unten links KachelX 72367 KachelY + 1 78707 0.32745696 -0.59317879 18.761902 -33.986641
    Unten rechts KachelX + 1 72368 KachelY + 1 78707 0.32750490 -0.59317879 18.764649 -33.986641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59313904--0.59317879) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59313904--0.59317879) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32745696-0.32750490) × cos(-0.59313904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829190148599316 × 6371000     		do = 253.25601473649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32745696-0.32750490) × cos(-0.59317879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.82916792902055 × 6371000     		du = 253.249228305203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59313904)-sin(-0.59317879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829190148599316-0.82916792902055)×R²
    abs(0.32750490-0.32745696)×2.221957876547e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.221957876547e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.221957876547e-05×40589641000000     		ar = 64135.5299639735m²