Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72366 / 78732
↖ ↑ ↗
← S 34.043557°
E 18.759155°		 ← 253.08 m → S 34.043557°
E 18.761902°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 34.045832°
E 18.759155°		 ← 253.07 m →
64 042 m²		 S 34.045832°
E 18.761902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552112579345703 y=0.600681304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552112579345703 × 217)
    floor (0.552112579345703 × 131072)
    floor (72366.5)     		tx = 72366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600681304931641 × 217)
    floor (0.600681304931641 × 131072)
    floor (78732.5)     		ty = 78732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72366 / 78732 ti = "17/72366/78732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72366/78732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72366 ÷ 217
    72366 ÷ 131072     		x = 0.552108764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78732 ÷ 217
    78732 ÷ 131072     		y = 0.600677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552108764648438 × 2 - 1) × π
    0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.20135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.632575327386261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32740902} λ = 0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632575327386261))-π/2
    2×atan(0.531221967398167)-π/2
    2×0.488312088362062-π/2
    0.976624176724124-1.57079632675     		φ = -0.59417215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59417215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.043557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72366 KachelY 78732 0.32740902 -0.59417215 18.759155 -34.043557
    Oben rechts KachelX + 1 72367 KachelY 78732 0.32745696 -0.59417215 18.761902 -34.043557
    Unten links KachelX 72366 KachelY + 1 78733 0.32740902 -0.59421187 18.759155 -34.045832
    Unten rechts KachelX + 1 72367 KachelY + 1 78733 0.32745696 -0.59421187 18.761902 -34.045832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59417215--0.59421187) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59417215--0.59421187) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32740902-0.32745696) × cos(-0.59417215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.828612232179183 × 6371000     		do = 253.079504186506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32740902-0.32745696) × cos(-0.59421187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.828589995356791 × 6371000     		du = 253.072712488571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59417215)-sin(-0.59421187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828612232179183-0.828589995356791)×R²
    abs(0.32745696-0.32740902)×2.22368223926628e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22368223926628e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22368223926628e-05×40589641000000     		ar = 64042.4580490856m²