Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72365 / 78731
↖ ↑ ↗
← S 34.041281°
E 18.756409°		 ← 253.03 m → S 34.041281°
E 18.759155°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 34.043557°
E 18.756409°		 ← 253.03 m →
64 031 m²		 S 34.043557°
E 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552104949951172 y=0.600673675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552104949951172 × 217)
    floor (0.552104949951172 × 131072)
    floor (72365.5)     		tx = 72365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600673675537109 × 217)
    floor (0.600673675537109 × 131072)
    floor (78731.5)     		ty = 78731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72365 / 78731 ti = "17/72365/78731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72365/78731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72365 ÷ 217
    72365 ÷ 131072     		x = 0.552101135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78731 ÷ 217
    78731 ÷ 131072     		y = 0.600669860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552101135253906 × 2 - 1) × π
    0.104202270507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.32736109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600669860839844 × 2 - 1) × π
    -0.201339721679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.632527390486641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32736109} λ = 0.32736109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632527390486641))-π/2
    2×atan(0.531247433142663)-π/2
    2×0.488331949179248-π/2
    0.976663898358495-1.57079632675     		φ = -0.59413243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32736109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.756409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59413243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.041281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72365 KachelY 78731 0.32736109 -0.59413243 18.756409 -34.041281
    Oben rechts KachelX + 1 72366 KachelY 78731 0.32740902 -0.59413243 18.759155 -34.041281
    Unten links KachelX 72365 KachelY + 1 78732 0.32736109 -0.59417215 18.756409 -34.043557
    Unten rechts KachelX + 1 72366 KachelY + 1 78732 0.32740902 -0.59417215 18.759155 -34.043557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59413243--0.59417215) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59413243--0.59417215) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32736109-0.32740902) × cos(-0.59413243) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.828634467694292 × 6371000     		do = 253.03350318296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32736109-0.32740902) × cos(-0.59417215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.828612232179183 × 6371000     		du = 253.026713300929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59413243)-sin(-0.59417215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828634467694292-0.828612232179183)×R²
    abs(0.32740902-0.32736109)×2.22355151089371e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22355151089371e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22355151089371e-05×40589641000000     		ar = 64030.8174431279m²