Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72365 / 75866
↖ ↑ ↗
← S 27.279044°
E 18.756409°		 ← 271.40 m → S 27.279044°
E 18.759155°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 27.281485°
E 18.756409°		 ← 271.40 m →
73 659 m²		 S 27.281485°
E 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552104949951172 y=0.578815460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552104949951172 × 217)
    floor (0.552104949951172 × 131072)
    floor (72365.5)     		tx = 72365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578815460205078 × 217)
    floor (0.578815460205078 × 131072)
    floor (75866.5)     		ty = 75866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72365 / 75866 ti = "17/72365/75866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72365/75866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72365 ÷ 217
    72365 ÷ 131072     		x = 0.552101135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75866 ÷ 217
    75866 ÷ 131072     		y = 0.578811645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552101135253906 × 2 - 1) × π
    0.104202270507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.32736109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578811645507812 × 2 - 1) × π
    -0.157623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.49518817307518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32736109} λ = 0.32736109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.49518817307518))-π/2
    2×atan(0.609456213255647)-π/2
    2×0.54734360076497-π/2
    1.09468720152994-1.57079632675     		φ = -0.47610913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32736109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.756409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47610913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.279044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72365 KachelY 75866 0.32736109 -0.47610913 18.756409 -27.279044
    Oben rechts KachelX + 1 72366 KachelY 75866 0.32740902 -0.47610913 18.759155 -27.279044
    Unten links KachelX 72365 KachelY + 1 75867 0.32736109 -0.47615173 18.756409 -27.281485
    Unten rechts KachelX + 1 72366 KachelY + 1 75867 0.32740902 -0.47615173 18.759155 -27.281485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47610913--0.47615173) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47610913--0.47615173) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32736109-0.32740902) × cos(-0.47610913) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888784926944977 × 6371000     		do = 271.401169525172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32736109-0.32740902) × cos(-0.47615173) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888765401514523 × 6371000     		du = 271.395207200092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47610913)-sin(-0.47615173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888784926944977-0.888765401514523)×R²
    abs(0.32740902-0.32736109)×1.9525430454248e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9525430454248e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9525430454248e-05×40589641000000     		ar = 73658.7167643661m²