Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72364 / 75867
↖ ↑ ↗
← S 27.281485°
E 18.753662°		 ← 271.45 m → S 27.281485°
E 18.756409°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
S 27.283925°
E 18.753662°		 ← 271.45 m →
73 672 m²		 S 27.283925°
E 18.756409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552097320556641 y=0.578823089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552097320556641 × 217)
    floor (0.552097320556641 × 131072)
    floor (72364.5)     		tx = 72364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578823089599609 × 217)
    floor (0.578823089599609 × 131072)
    floor (75867.5)     		ty = 75867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72364 / 75867 ti = "17/72364/75867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72364/75867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72364 ÷ 217
    72364 ÷ 131072     		x = 0.552093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75867 ÷ 217
    75867 ÷ 131072     		y = 0.578819274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578819274902344 × 2 - 1) × π
    -0.157638549804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.4952361099748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32731315} λ = 0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4952361099748))-π/2
    2×atan(0.609426998514567)-π/2
    2×0.547322298202027-π/2
    1.09464459640405-1.57079632675     		φ = -0.47615173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47615173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.281485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72364 KachelY 75867 0.32731315 -0.47615173 18.753662 -27.281485
    Oben rechts KachelX + 1 72365 KachelY 75867 0.32736109 -0.47615173 18.756409 -27.281485
    Unten links KachelX 72364 KachelY + 1 75868 0.32731315 -0.47619433 18.753662 -27.283925
    Unten rechts KachelX + 1 72365 KachelY + 1 75868 0.32736109 -0.47619433 18.756409 -27.283925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47615173--0.47619433) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47615173--0.47619433) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32731315-0.32736109) × cos(-0.47615173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888765401514523 × 6371000     		do = 271.451830444107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32731315-0.32736109) × cos(-0.47619433) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888745874471173 × 6371000     		du = 271.445866382441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47615173)-sin(-0.47619433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888765401514523-0.888745874471173)×R²
    abs(0.32736109-0.32731315)×1.95270433500649e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95270433500649e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95270433500649e-05×40589641000000     		ar = 73672.4661351913m²