Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72363 / 78700
↖ ↑ ↗
← S 33.970698°
E 18.750915°		 ← 253.30 m → S 33.970698°
E 18.753662°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 33.972976°
E 18.750915°		 ← 253.29 m →
64 146 m²		 S 33.972976°
E 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552089691162109 y=0.600437164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552089691162109 × 217)
    floor (0.552089691162109 × 131072)
    floor (72363.5)     		tx = 72363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600437164306641 × 217)
    floor (0.600437164306641 × 131072)
    floor (78700.5)     		ty = 78700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72363 / 78700 ti = "17/72363/78700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72363/78700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72363 ÷ 217
    72363 ÷ 131072     		x = 0.552085876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78700 ÷ 217
    78700 ÷ 131072     		y = 0.600433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552085876464844 × 2 - 1) × π
    0.104171752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.32726521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.20086669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.631041346598419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32726521} λ = 0.32726521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.631041346598419))-π/2
    2×atan(0.532037477018365)-π/2
    2×0.488947898777625-π/2
    0.97789579755525-1.57079632675     		φ = -0.59290053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32726521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.750915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59290053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.970698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72363 KachelY 78700 0.32726521 -0.59290053 18.750915 -33.970698
    Oben rechts KachelX + 1 72364 KachelY 78700 0.32731315 -0.59290053 18.753662 -33.970698
    Unten links KachelX 72363 KachelY + 1 78701 0.32726521 -0.59294028 18.750915 -33.972976
    Unten rechts KachelX + 1 72364 KachelY + 1 78701 0.32731315 -0.59294028 18.753662 -33.972976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59290053--0.59294028) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59290053--0.59294028) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32726521-0.32731315) × cos(-0.59290053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829323444144751 × 6371000     		do = 253.296726627386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32726521-0.32731315) × cos(-0.59294028) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829301232427875 × 6371000     		du = 253.289942597323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59290053)-sin(-0.59294028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829323444144751-0.829301232427875)×R²
    abs(0.32731315-0.32726521)×2.22117168756641e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22117168756641e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22117168756641e-05×40589641000000     		ar = 64145.8404422131m²