Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72361 / 96558
↖ ↑ ↗
← S 64.527186°
E 18.745422°		 ← 131.36 m → S 64.527186°
E 18.748169°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
S 64.528367°
E 18.745422°		 ← 131.35 m →
17 256 m²		 S 64.528367°
E 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552074432373047 y=0.736682891845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552074432373047 × 217)
    floor (0.552074432373047 × 131072)
    floor (72361.5)     		tx = 72361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736682891845703 × 217)
    floor (0.736682891845703 × 131072)
    floor (96558.5)     		ty = 96558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72361 / 96558 ti = "17/72361/96558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72361/96558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72361 ÷ 217
    72361 ÷ 131072     		x = 0.552070617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96558 ÷ 217
    96558 ÷ 131072     		y = 0.736679077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552070617675781 × 2 - 1) × π
    0.104141235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.32716934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736679077148438 × 2 - 1) × π
    -0.473358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48709850001338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32716934} λ = 0.32716934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48709850001338))-π/2
    2×atan(0.226027523887293)-π/2
    2×0.222292238897684-π/2
    0.444584477795368-1.57079632675     		φ = -1.12621185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32716934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.745422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12621185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.527186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72361 KachelY 96558 0.32716934 -1.12621185 18.745422 -64.527186
    Oben rechts KachelX + 1 72362 KachelY 96558 0.32721728 -1.12621185 18.748169 -64.527186
    Unten links KachelX 72361 KachelY + 1 96559 0.32716934 -1.12623247 18.745422 -64.528367
    Unten rechts KachelX + 1 72362 KachelY + 1 96559 0.32721728 -1.12623247 18.748169 -64.528367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12621185--1.12623247) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dl = 131.370019999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12621185--1.12623247) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dr = 131.370019999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32716934-0.32721728) × cos(-1.12621185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430082787473728 × 6371000     		do = 131.358353625492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32716934-0.32721728) × cos(-1.12623247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430064171863782 × 6371000     		du = 131.352667939049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12621185)-sin(-1.12623247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430082787473728-0.430064171863782)×R²
    abs(0.32721728-0.32716934)×1.86156099457047e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86156099457047e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86156099457047e-05×40589641000000     		ar = 17256.1760792316m²