Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7236 / 7363
↖ ↑ ↗
← N 69.888788°
W100.502930°		 ← 420.05 m → N 69.888788°
W100.491943°		 →
↑
420.10 m
↓
↑
420.10 m
↓
N 69.885010°
W100.502930°		 ← 420.13 m →
176 482 m²		 N 69.885010°
W100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220840454101562 y=0.224716186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220840454101562 × 215)
    floor (0.220840454101562 × 32768)
    floor (7236.5)     		tx = 7236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224716186523438 × 215)
    floor (0.224716186523438 × 32768)
    floor (7363.5)     		ty = 7363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7236 / 7363 ti = "15/7236/7363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7236/7363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7236 ÷ 215
    7236 ÷ 32768     		x = 0.2208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7363 ÷ 215
    7363 ÷ 32768     		y = 0.224700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    -0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224700927734375 × 2 - 1) × π
    0.55059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72975508589011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75410703} λ = -1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72975508589011))-π/2
    2×atan(5.63927260185476)-π/2
    2×1.39529289341813-π/2
    2.79058578683627-1.57079632675     		φ = 1.21978946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21978946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.888788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7236 KachelY 7363 -1.75410703 1.21978946 -100.502930 69.888788
    Oben rechts KachelX + 1 7237 KachelY 7363 -1.75391528 1.21978946 -100.491943 69.888788
    Unten links KachelX 7236 KachelY + 1 7364 -1.75410703 1.21972352 -100.502930 69.885010
    Unten rechts KachelX + 1 7237 KachelY + 1 7364 -1.75391528 1.21972352 -100.491943 69.885010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21978946-1.21972352) × R
    6.59400000000421e-05 × 6371000     		dl = 420.103740000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21978946-1.21972352) × R
    6.59400000000421e-05 × 6371000     		dr = 420.103740000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75410703--1.75391528) × cos(1.21978946) × R
    0.000191749999999935 × 0.343843456676657 × 6371000     		do = 420.052662531737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75410703--1.75391528) × cos(1.21972352) × R
    0.000191749999999935 × 0.343905375368429 × 6371000     		du = 420.128304835914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21978946)-sin(1.21972352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343843456676657-0.343905375368429)×R²
    abs(-1.75391528--1.75410703)×6.19186917718562e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19186917718562e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19186917718562e-05×40589641000000     		ar = 176481.583398205m²