Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72359 / 96556
↖ ↑ ↗
← S 64.524823°
E 18.739929°		 ← 131.34 m → S 64.524823°
E 18.742676°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
S 64.526004°
E 18.739929°		 ← 131.34 m →
17 254 m²		 S 64.526004°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552059173583984 y=0.736667633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552059173583984 × 217)
    floor (0.552059173583984 × 131072)
    floor (72359.5)     		tx = 72359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736667633056641 × 217)
    floor (0.736667633056641 × 131072)
    floor (96556.5)     		ty = 96556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72359 / 96556 ti = "17/72359/96556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72359/96556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72359 ÷ 217
    72359 ÷ 131072     		x = 0.552055358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96556 ÷ 217
    96556 ÷ 131072     		y = 0.736663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552055358886719 × 2 - 1) × π
    0.104110717773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.32707347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.47332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48700262621414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32707347} λ = 0.32707347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48700262621414))-π/2
    2×atan(0.226049195043573)-π/2
    2×0.222312856625392-π/2
    0.444625713250784-1.57079632675     		φ = -1.12617061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32707347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.739929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12617061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.524823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72359 KachelY 96556 0.32707347 -1.12617061 18.739929 -64.524823
    Oben rechts KachelX + 1 72360 KachelY 96556 0.32712140 -1.12617061 18.742676 -64.524823
    Unten links KachelX 72359 KachelY + 1 96557 0.32707347 -1.12619123 18.739929 -64.526004
    Unten rechts KachelX + 1 72360 KachelY + 1 96557 0.32712140 -1.12619123 18.742676 -64.526004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12617061--1.12619123) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dl = 131.370020000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12617061--1.12619123) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dr = 131.370020000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32707347-0.32712140) × cos(-1.12617061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430120018145018 × 6371000     		do = 131.34232188448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32707347-0.32712140) × cos(-1.12619123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430101402900809 × 6371000     		du = 131.336637495719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12617061)-sin(-1.12619123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430120018145018-0.430101402900809)×R²
    abs(0.32712140-0.32707347)×1.8615244208986e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8615244208986e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8615244208986e-05×40589641000000     		ar = 17254.070074379m²