Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72359 / 75880
↖ ↑ ↗
← S 27.313214°
E 18.739929°		 ← 271.32 m → S 27.313214°
E 18.742676°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
S 27.315654°
E 18.739929°		 ← 271.31 m →
73 619 m²		 S 27.315654°
E 18.742676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552059173583984 y=0.578922271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552059173583984 × 217)
    floor (0.552059173583984 × 131072)
    floor (72359.5)     		tx = 72359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578922271728516 × 217)
    floor (0.578922271728516 × 131072)
    floor (75880.5)     		ty = 75880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72359 / 75880 ti = "17/72359/75880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72359/75880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72359 ÷ 217
    72359 ÷ 131072     		x = 0.552055358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75880 ÷ 217
    75880 ÷ 131072     		y = 0.57891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552055358886719 × 2 - 1) × π
    0.104110717773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.32707347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57891845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.495859289669861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32707347} λ = 0.32707347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.495859289669861))-π/2
    2×atan(0.609047334295274)-π/2
    2×0.547045407487998-π/2
    1.094090814976-1.57079632675     		φ = -0.47670551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32707347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.739929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47670551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.313214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72359 KachelY 75880 0.32707347 -0.47670551 18.739929 -27.313214
    Oben rechts KachelX + 1 72360 KachelY 75880 0.32712140 -0.47670551 18.742676 -27.313214
    Unten links KachelX 72359 KachelY + 1 75881 0.32707347 -0.47674810 18.739929 -27.315654
    Unten rechts KachelX + 1 72360 KachelY + 1 75881 0.32712140 -0.47674810 18.742676 -27.315654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47670551--0.47674810) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47670551--0.47674810) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32707347-0.32712140) × cos(-0.47670551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888511433335083 × 6371000     		do = 271.317654961577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32707347-0.32712140) × cos(-0.47674810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888491889916993 × 6371000     		du = 271.311687143755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47670551)-sin(-0.47674810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888511433335083-0.888491889916993)×R²
    abs(0.32712140-0.32707347)×1.95434180907395e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95434180907395e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95434180907395e-05×40589641000000     		ar = 73618.7643245351m²