Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72357 / 96560
↖ ↑ ↗
← S 64.529548°
E 18.734436°		 ← 131.35 m → S 64.529548°
E 18.737183°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
S 64.530730°
E 18.734436°		 ← 131.34 m →
17 255 m²		 S 64.530730°
E 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552043914794922 y=0.736698150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552043914794922 × 217)
    floor (0.552043914794922 × 131072)
    floor (72357.5)     		tx = 72357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736698150634766 × 217)
    floor (0.736698150634766 × 131072)
    floor (96560.5)     		ty = 96560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72357 / 96560 ti = "17/72357/96560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72357/96560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72357 ÷ 217
    72357 ÷ 131072     		x = 0.552040100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96560 ÷ 217
    96560 ÷ 131072     		y = 0.7366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552040100097656 × 2 - 1) × π
    0.104080200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.32697759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48719437381262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32697759} λ = 0.32697759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48719437381262))-π/2
    2×atan(0.22600585480861)-π/2
    2×0.222271622954443-π/2
    0.444543245908885-1.57079632675     		φ = -1.12625308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32697759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.734436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12625308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.529548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72357 KachelY 96560 0.32697759 -1.12625308 18.734436 -64.529548
    Oben rechts KachelX + 1 72358 KachelY 96560 0.32702553 -1.12625308 18.737183 -64.529548
    Unten links KachelX 72357 KachelY + 1 96561 0.32697759 -1.12627370 18.734436 -64.530730
    Unten rechts KachelX + 1 72358 KachelY + 1 96561 0.32702553 -1.12627370 18.737183 -64.530730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12625308--1.12627370) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dl = 131.370020000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12625308--1.12627370) × R
    2.06200000001378e-05 × 6371000     		dr = 131.370020000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32697759-0.32702553) × cos(-1.12625308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430045565099052 × 6371000     		do = 131.346984954162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32697759-0.32702553) × cos(-1.12627370) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430026949123489 × 6371000     		du = 131.34129915605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12625308)-sin(-1.12627370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430045565099052-0.430026949123489)×R²
    abs(0.32702553-0.32697759)×1.86159755624082e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86159755624082e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86159755624082e-05×40589641000000     		ar = 17254.6825695015m²