Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72356 / 75888
↖ ↑ ↗
← S 27.332735°
E 18.731690°		 ← 271.27 m → S 27.332735°
E 18.734436°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
S 27.335175°
E 18.731690°		 ← 271.26 m →
73 606 m²		 S 27.335175°
E 18.734436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552036285400391 y=0.578983306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552036285400391 × 217)
    floor (0.552036285400391 × 131072)
    floor (72356.5)     		tx = 72356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578983306884766 × 217)
    floor (0.578983306884766 × 131072)
    floor (75888.5)     		ty = 75888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72356 / 75888 ti = "17/72356/75888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72356/75888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72356 ÷ 217
    72356 ÷ 131072     		x = 0.552032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75888 ÷ 217
    75888 ÷ 131072     		y = 0.5789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552032470703125 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.496242784866821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32692966} λ = 0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496242784866821))-π/2
    2×atan(0.608813812347984)-π/2
    2×0.546875052546881-π/2
    1.09375010509376-1.57079632675     		φ = -0.47704622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47704622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.332735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72356 KachelY 75888 0.32692966 -0.47704622 18.731690 -27.332735
    Oben rechts KachelX + 1 72357 KachelY 75888 0.32697759 -0.47704622 18.734436 -27.332735
    Unten links KachelX 72356 KachelY + 1 75889 0.32692966 -0.47708881 18.731690 -27.335175
    Unten rechts KachelX + 1 72357 KachelY + 1 75889 0.32697759 -0.47708881 18.734436 -27.335175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47704622--0.47708881) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dl = 271.340889999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47704622--0.47708881) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dr = 271.340889999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32692966-0.32697759) × cos(-0.47704622) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888355045457921 × 6371000     		do = 271.269900041625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32692966-0.32697759) × cos(-0.47708881) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.888335489148061 × 6371000     		du = 271.263928287147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47704622)-sin(-0.47708881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888355045457921-0.888335489148061)×R²
    abs(0.32697759-0.32692966)×1.95563098606133e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95563098606133e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95563098606133e-05×40589641000000     		ar = 73605.8059279676m²