Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72354 / 78946
↖ ↑ ↗
← S 34.529187°
E 18.726196°		 ← 251.62 m → S 34.529187°
E 18.728943°		 →
↑
251.59 m
↓
↑
251.59 m
↓
S 34.531450°
E 18.726196°		 ← 251.61 m →
63 305 m²		 S 34.531450°
E 18.728943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552021026611328 y=0.602313995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552021026611328 × 217)
    floor (0.552021026611328 × 131072)
    floor (72354.5)     		tx = 72354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602313995361328 × 217)
    floor (0.602313995361328 × 131072)
    floor (78946.5)     		ty = 78946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72354 / 78946 ti = "17/72354/78946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72354/78946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72354 ÷ 217
    72354 ÷ 131072     		x = 0.552017211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78946 ÷ 217
    78946 ÷ 131072     		y = 0.602310180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552017211914062 × 2 - 1) × π
    0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602310180664062 × 2 - 1) × π
    -0.204620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.642833823904953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32683378} λ = 0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642833823904953))-π/2
    2×atan(0.525800285394539)-π/2
    2×0.484074162204673-π/2
    0.968148324409345-1.57079632675     		φ = -0.60264800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60264800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.529187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72354 KachelY 78946 0.32683378 -0.60264800 18.726196 -34.529187
    Oben rechts KachelX + 1 72355 KachelY 78946 0.32688172 -0.60264800 18.728943 -34.529187
    Unten links KachelX 72354 KachelY + 1 78947 0.32683378 -0.60268749 18.726196 -34.531450
    Unten rechts KachelX + 1 72355 KachelY + 1 78947 0.32688172 -0.60268749 18.728943 -34.531450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60264800--0.60268749) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dl = 251.590790000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60264800--0.60268749) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dr = 251.590790000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32683378-0.32688172) × cos(-0.60264800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.823837549802104 × 6371000     		do = 251.621193287929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32683378-0.32688172) × cos(-0.60268749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.823815165201791 × 6371000     		du = 251.614356454814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60264800)-sin(-0.60268749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823837549802104-0.823815165201791)×R²
    abs(0.32688172-0.32683378)×2.23846003128969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23846003128969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23846003128969e-05×40589641000000     		ar = 63304.7147661606m²