Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72354 / 78938
↖ ↑ ↗
← S 34.511083°
E 18.726196°		 ← 251.68 m → S 34.511083°
E 18.728943°		 →
↑
251.65 m
↓
↑
251.65 m
↓
S 34.513346°
E 18.726196°		 ← 251.67 m →
63 335 m²		 S 34.513346°
E 18.728943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552021026611328 y=0.602252960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552021026611328 × 217)
    floor (0.552021026611328 × 131072)
    floor (72354.5)     		tx = 72354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602252960205078 × 217)
    floor (0.602252960205078 × 131072)
    floor (78938.5)     		ty = 78938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72354 / 78938 ti = "17/72354/78938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72354/78938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72354 ÷ 217
    72354 ÷ 131072     		x = 0.552017211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78938 ÷ 217
    78938 ÷ 131072     		y = 0.602249145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552017211914062 × 2 - 1) × π
    0.104034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32683378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602249145507812 × 2 - 1) × π
    -0.204498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.642450328707993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32683378} λ = 0.32683378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642450328707993))-π/2
    2×atan(0.526001965947839)-π/2
    2×0.484232148243986-π/2
    0.968464296487972-1.57079632675     		φ = -0.60233203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32683378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.726196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60233203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.511083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72354 KachelY 78938 0.32683378 -0.60233203 18.726196 -34.511083
    Oben rechts KachelX + 1 72355 KachelY 78938 0.32688172 -0.60233203 18.728943 -34.511083
    Unten links KachelX 72354 KachelY + 1 78939 0.32683378 -0.60237153 18.726196 -34.513346
    Unten rechts KachelX + 1 72355 KachelY + 1 78939 0.32688172 -0.60237153 18.728943 -34.513346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60233203--0.60237153) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dl = 251.65449999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60233203--0.60237153) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dr = 251.65449999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32683378-0.32688172) × cos(-0.60233203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824016608679255 × 6371000     		do = 251.675882477987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32683378-0.32688172) × cos(-0.60237153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.823994228693498 × 6371000     		du = 251.669047054276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60233203)-sin(-0.60237153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824016608679255-0.823994228693498)×R²
    abs(0.32688172-0.32683378)×2.23799857562712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23799857562712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23799857562712e-05×40589641000000     		ar = 63334.5082926477m²