Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72352 / 78933
↖ ↑ ↗
← S 34.499766°
E 18.720703°		 ← 251.66 m → S 34.499766°
E 18.723449°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
S 34.502030°
E 18.720703°		 ← 251.65 m →
63 346 m²		 S 34.502030°
E 18.723449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552005767822266 y=0.602214813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552005767822266 × 217)
    floor (0.552005767822266 × 131072)
    floor (72352.5)     		tx = 72352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602214813232422 × 217)
    floor (0.602214813232422 × 131072)
    floor (78933.5)     		ty = 78933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72352 / 78933 ti = "17/72352/78933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72352/78933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72352 ÷ 217
    72352 ÷ 131072     		x = 0.552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78933 ÷ 217
    78933 ÷ 131072     		y = 0.602210998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552001953125 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602210998535156 × 2 - 1) × π
    -0.204421997070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.642210644209892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32673791} λ = 0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642210644209892))-π/2
    2×atan(0.526128055575307)-π/2
    2×0.484330906952378-π/2
    0.968661813904757-1.57079632675     		φ = -0.60213451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60213451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.499766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72352 KachelY 78933 0.32673791 -0.60213451 18.720703 -34.499766
    Oben rechts KachelX + 1 72353 KachelY 78933 0.32678584 -0.60213451 18.723449 -34.499766
    Unten links KachelX 72352 KachelY + 1 78934 0.32673791 -0.60217402 18.720703 -34.502030
    Unten rechts KachelX + 1 72353 KachelY + 1 78934 0.32678584 -0.60217402 18.723449 -34.502030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60213451--0.60217402) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dl = 251.71821000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60213451--0.60217402) × R
    3.95100000000204e-05 × 6371000     		dr = 251.71821000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32673791-0.32678584) × cos(-0.60213451) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.824128500650317 × 6371000     		do = 251.6575519393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32673791-0.32678584) × cos(-0.60217402) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.824106121429566 × 6371000     		du = 251.650718175021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60213451)-sin(-0.60217402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824128500650317-0.824106121429566)×R²
    abs(0.32678584-0.32673791)×2.23792207508788e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.23792207508788e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.23792207508788e-05×40589641000000     		ar = 63345.9284238698m²