Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72352 / 78688
↖ ↑ ↗
← S 33.943360°
E 18.720703°		 ← 253.33 m → S 33.943360°
E 18.723449°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 33.945639°
E 18.720703°		 ← 253.32 m →
64 185 m²		 S 33.945639°
E 18.723449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552005767822266 y=0.600345611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552005767822266 × 217)
    floor (0.552005767822266 × 131072)
    floor (72352.5)     		tx = 72352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600345611572266 × 217)
    floor (0.600345611572266 × 131072)
    floor (78688.5)     		ty = 78688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72352 / 78688 ti = "17/72352/78688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72352/78688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72352 ÷ 217
    72352 ÷ 131072     		x = 0.552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78688 ÷ 217
    78688 ÷ 131072     		y = 0.600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552001953125 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.20068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630466103802979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32673791} λ = 0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630466103802979))-π/2
    2×atan(0.532343615787543)-π/2
    2×0.48918646827624-π/2
    0.978372936552479-1.57079632675     		φ = -0.59242339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59242339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.943360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72352 KachelY 78688 0.32673791 -0.59242339 18.720703 -33.943360
    Oben rechts KachelX + 1 72353 KachelY 78688 0.32678584 -0.59242339 18.723449 -33.943360
    Unten links KachelX 72352 KachelY + 1 78689 0.32673791 -0.59246316 18.720703 -33.945639
    Unten rechts KachelX + 1 72353 KachelY + 1 78689 0.32678584 -0.59246316 18.723449 -33.945639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59242339--0.59246316) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dl = 253.374669999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59242339--0.59246316) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dr = 253.374669999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32673791-0.32678584) × cos(-0.59242339) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829589960699599 × 6371000     		do = 253.325274466711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32673791-0.32678584) × cos(-0.59246316) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829567753546129 × 6371000     		du = 253.318493245247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59242339)-sin(-0.59246316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829589960699599-0.829567753546129)×R²
    abs(0.32678584-0.32673791)×2.22071534701218e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22071534701218e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22071534701218e-05×40589641000000     		ar = 64185.3487343395m²