Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72351 / 78932
↖ ↑ ↗
← S 34.497503°
E 18.717956°		 ← 251.72 m → S 34.497503°
E 18.720703°		 →
↑
251.65 m
↓
↑
251.65 m
↓
S 34.499766°
E 18.717956°		 ← 251.71 m →
63 345 m²		 S 34.499766°
E 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551998138427734 y=0.602207183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551998138427734 × 217)
    floor (0.551998138427734 × 131072)
    floor (72351.5)     		tx = 72351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602207183837891 × 217)
    floor (0.602207183837891 × 131072)
    floor (78932.5)     		ty = 78932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72351 / 78932 ti = "17/72351/78932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72351/78932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72351 ÷ 217
    72351 ÷ 131072     		x = 0.551994323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78932 ÷ 217
    78932 ÷ 131072     		y = 0.602203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551994323730469 × 2 - 1) × π
    0.103988647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.32668997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.20440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.642162707310272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32668997} λ = 0.32668997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642162707310272))-π/2
    2×atan(0.526153277127612)-π/2
    2×0.484350660303105-π/2
    0.96870132060621-1.57079632675     		φ = -0.60209501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32668997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.717956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60209501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.497503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72351 KachelY 78932 0.32668997 -0.60209501 18.717956 -34.497503
    Oben rechts KachelX + 1 72352 KachelY 78932 0.32673791 -0.60209501 18.720703 -34.497503
    Unten links KachelX 72351 KachelY + 1 78933 0.32668997 -0.60213451 18.717956 -34.499766
    Unten rechts KachelX + 1 72352 KachelY + 1 78933 0.32673791 -0.60213451 18.720703 -34.499766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60209501--0.60213451) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dl = 251.65449999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60209501--0.60213451) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dr = 251.65449999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32668997-0.32673791) × cos(-0.60209501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824150872920867 × 6371000     		do = 251.716890233628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32668997-0.32673791) × cos(-0.60213451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824128500650317 × 6371000     		du = 251.71005716634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60209501)-sin(-0.60213451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824150872920867-0.824128500650317)×R²
    abs(0.32673791-0.32668997)×2.23722705500196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23722705500196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23722705500196e-05×40589641000000     		ar = 63344.8283755721m²