Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72350 / 96535
↖ ↑ ↗
← S 64.500004°
E 18.715210°		 ← 131.49 m → S 64.500004°
E 18.717956°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
S 64.501186°
E 18.715210°		 ← 131.48 m →
17 282 m²		 S 64.501186°
E 18.717956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551990509033203 y=0.736507415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551990509033203 × 217)
    floor (0.551990509033203 × 131072)
    floor (72350.5)     		tx = 72350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736507415771484 × 217)
    floor (0.736507415771484 × 131072)
    floor (96535.5)     		ty = 96535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72350 / 96535 ti = "17/72350/96535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72350/96535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72350 ÷ 217
    72350 ÷ 131072     		x = 0.551986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96535 ÷ 217
    96535 ÷ 131072     		y = 0.736503601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551986694335938 × 2 - 1) × π
    0.103973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32664203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736503601074219 × 2 - 1) × π
    -0.473007202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48599595132212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32664203} λ = 0.32664203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48599595132212))-π/2
    2×atan(0.226276867669516)-π/2
    2×0.22252945053353-π/2
    0.44505890106706-1.57079632675     		φ = -1.12573743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32664203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12573743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.500004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72350 KachelY 96535 0.32664203 -1.12573743 18.715210 -64.500004
    Oben rechts KachelX + 1 72351 KachelY 96535 0.32668997 -1.12573743 18.717956 -64.500004
    Unten links KachelX 72350 KachelY + 1 96536 0.32664203 -1.12575806 18.715210 -64.501186
    Unten rechts KachelX + 1 72351 KachelY + 1 96536 0.32668997 -1.12575806 18.717956 -64.501186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12573743--1.12575806) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dl = 131.433729999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12573743--1.12575806) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dr = 131.433729999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32664203-0.32668997) × cos(-1.12573743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430511040429516 × 6371000     		do = 131.489153101269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32664203-0.32668997) × cos(-1.12575806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430492420002935 × 6371000     		du = 131.483465943701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12573743)-sin(-1.12575806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430511040429516-0.430492420002935)×R²
    abs(0.32668997-0.32664203)×1.86204265815171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86204265815171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86204265815171e-05×40589641000000     		ar = 17281.7361050334m²