Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72350 / 78934
↖ ↑ ↗
← S 34.502030°
E 18.715210°		 ← 251.70 m → S 34.502030°
E 18.717956°		 →
↑
251.65 m
↓
↑
251.65 m
↓
S 34.504293°
E 18.715210°		 ← 251.70 m →
63 341 m²		 S 34.504293°
E 18.717956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551990509033203 y=0.602222442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551990509033203 × 217)
    floor (0.551990509033203 × 131072)
    floor (72350.5)     		tx = 72350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602222442626953 × 217)
    floor (0.602222442626953 × 131072)
    floor (78934.5)     		ty = 78934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72350 / 78934 ti = "17/72350/78934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72350/78934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72350 ÷ 217
    72350 ÷ 131072     		x = 0.551986694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78934 ÷ 217
    78934 ÷ 131072     		y = 0.602218627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551986694335938 × 2 - 1) × π
    0.103973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32664203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602218627929688 × 2 - 1) × π
    -0.204437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.642258581109512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32664203} λ = 0.32664203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642258581109512))-π/2
    2×atan(0.526102835232017)-π/2
    2×0.484311154137979-π/2
    0.968622308275959-1.57079632675     		φ = -0.60217402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32664203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60217402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.502030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72350 KachelY 78934 0.32664203 -0.60217402 18.715210 -34.502030
    Oben rechts KachelX + 1 72351 KachelY 78934 0.32668997 -0.60217402 18.717956 -34.502030
    Unten links KachelX 72350 KachelY + 1 78935 0.32664203 -0.60221352 18.715210 -34.504293
    Unten rechts KachelX + 1 72351 KachelY + 1 78935 0.32668997 -0.60221352 18.717956 -34.504293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60217402--0.60221352) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dl = 251.65449999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60217402--0.60221352) × R
    3.94999999999701e-05 × 6371000     		dr = 251.65449999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32664203-0.32668997) × cos(-0.60217402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824106121429566 × 6371000     		do = 251.70322197599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32664203-0.32668997) × cos(-0.60221352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.824083746587032 × 6371000     		du = 251.696388123152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60217402)-sin(-0.60221352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824106121429566-0.824083746587032)×R²
    abs(0.32668997-0.32664203)×2.23748425335346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23748425335346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23748425335346e-05×40589641000000     		ar = 63341.3885981219m²