Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72341 / 78693
↖ ↑ ↗
← S 33.954752°
E 18.690491°		 ← 253.34 m → S 33.954752°
E 18.693237°		 →
↑
253.31 m
↓
↑
253.31 m
↓
S 33.957030°
E 18.690491°		 ← 253.34 m →
64 174 m²		 S 33.957030°
E 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551921844482422 y=0.600383758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551921844482422 × 217)
    floor (0.551921844482422 × 131072)
    floor (72341.5)     		tx = 72341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600383758544922 × 217)
    floor (0.600383758544922 × 131072)
    floor (78693.5)     		ty = 78693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72341 / 78693 ti = "17/72341/78693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72341/78693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72341 ÷ 217
    72341 ÷ 131072     		x = 0.551918029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78693 ÷ 217
    78693 ÷ 131072     		y = 0.600379943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551918029785156 × 2 - 1) × π
    0.103836059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.32621060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600379943847656 × 2 - 1) × π
    -0.200759887695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.630705788301079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32621060} λ = 0.32621060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630705788301079))-π/2
    2×atan(0.532216036565168)-π/2
    2×0.489087055002786-π/2
    0.978174110005573-1.57079632675     		φ = -0.59262222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32621060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.690491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59262222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.954752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72341 KachelY 78693 0.32621060 -0.59262222 18.690491 -33.954752
    Oben rechts KachelX + 1 72342 KachelY 78693 0.32625854 -0.59262222 18.693237 -33.954752
    Unten links KachelX 72341 KachelY + 1 78694 0.32621060 -0.59266198 18.690491 -33.957030
    Unten rechts KachelX + 1 72342 KachelY + 1 78694 0.32625854 -0.59266198 18.693237 -33.957030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59262222--0.59266198) × R
    3.97600000000553e-05 × 6371000     		dl = 253.310960000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59262222--0.59266198) × R
    3.97600000000553e-05 × 6371000     		dr = 253.310960000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32621060-0.32625854) × cos(-0.59262222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829478922982477 × 6371000     		do = 253.34421386616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32621060-0.32625854) × cos(-0.59266198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829456714855287 × 6371000     		du = 253.337430932479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59262222)-sin(-0.59266198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829478922982477-0.829456714855287)×R²
    abs(0.32625854-0.32621060)×2.22081271903374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22081271903374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22081271903374e-05×40589641000000     		ar = 64174.006937799m²