Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72340 / 96538
↖ ↑ ↗
← S 64.503550°
E 18.687744°		 ← 131.44 m → S 64.503550°
E 18.690491°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
S 64.504733°
E 18.687744°		 ← 131.44 m →
17 284 m²		 S 64.504733°
E 18.690491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551914215087891 y=0.736530303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551914215087891 × 217)
    floor (0.551914215087891 × 131072)
    floor (72340.5)     		tx = 72340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736530303955078 × 217)
    floor (0.736530303955078 × 131072)
    floor (96538.5)     		ty = 96538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72340 / 96538 ti = "17/72340/96538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72340/96538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72340 ÷ 217
    72340 ÷ 131072     		x = 0.551910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96538 ÷ 217
    96538 ÷ 131072     		y = 0.736526489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551910400390625 × 2 - 1) × π
    0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736526489257812 × 2 - 1) × π
    -0.473052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48613976202098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32616267} λ = 0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48613976202098))-π/2
    2×atan(0.226244328974803)-π/2
    2×0.22249849649546-π/2
    0.444996992990919-1.57079632675     		φ = -1.12579933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12579933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.503550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72340 KachelY 96538 0.32616267 -1.12579933 18.687744 -64.503550
    Oben rechts KachelX + 1 72341 KachelY 96538 0.32621060 -1.12579933 18.690491 -64.503550
    Unten links KachelX 72340 KachelY + 1 96539 0.32616267 -1.12581997 18.687744 -64.504733
    Unten rechts KachelX + 1 72341 KachelY + 1 96539 0.32621060 -1.12581997 18.690491 -64.504733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12579933--1.12581997) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12579933--1.12581997) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32616267-0.32621060) × cos(-1.12579933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430455169574011 × 6371000     		do = 131.444664405195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32616267-0.32621060) × cos(-1.12581997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430436539571507 × 6371000     		du = 131.438975509811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12579933)-sin(-1.12581997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430455169574011-0.430436539571507)×R²
    abs(0.32621060-0.32616267)×1.86300025038499e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86300025038499e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86300025038499e-05×40589641000000     		ar = 17284.2628338253m²