Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7234 / 7236
↖ ↑ ↗
← N 70.363091°
W100.524903°		 ← 410.54 m → N 70.363091°
W100.513916°		 →
↑
410.55 m
↓
↑
410.55 m
↓
N 70.359399°
W100.524903°		 ← 410.62 m →
168 562 m²		 N 70.359399°
W100.513916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220779418945312 y=0.220840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220779418945312 × 215)
    floor (0.220779418945312 × 32768)
    floor (7234.5)     		tx = 7234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220840454101562 × 215)
    floor (0.220840454101562 × 32768)
    floor (7236.5)     		ty = 7236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7234 / 7236 ti = "15/7234/7236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7234/7236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7234 ÷ 215
    7234 ÷ 32768     		x = 0.22076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7236 ÷ 215
    7236 ÷ 32768     		y = 0.2208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75410703089709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75449053} λ = -1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75410703089709))-π/2
    2×atan(5.77828560697148)-π/2
    2×1.39943196904263-π/2
    2.79886393808526-1.57079632675     		φ = 1.22806761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22806761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.363091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7234 KachelY 7236 -1.75449053 1.22806761 -100.524903 70.363091
    Oben rechts KachelX + 1 7235 KachelY 7236 -1.75429878 1.22806761 -100.513916 70.363091
    Unten links KachelX 7234 KachelY + 1 7237 -1.75449053 1.22800317 -100.524903 70.359399
    Unten rechts KachelX + 1 7235 KachelY + 1 7237 -1.75429878 1.22800317 -100.513916 70.359399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22806761-1.22800317) × R
    6.44400000000545e-05 × 6371000     		dl = 410.547240000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22806761-1.22800317) × R
    6.44400000000545e-05 × 6371000     		dr = 410.547240000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75449053--1.75429878) × cos(1.22806761) × R
    0.000191749999999935 × 0.336058357883446 × 6371000     		do = 410.542080280825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75449053--1.75429878) × cos(1.22800317) × R
    0.000191749999999935 × 0.336119049430333 × 6371000     		du = 410.616223456646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22806761)-sin(1.22800317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336058357883446-0.336119049430333)×R²
    abs(-1.75429878--1.75449053)×6.06915468874814e-05×R²
    0.000191749999999935×6.06915468874814e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.06915468874814e-05×40589641000000     		ar = 168562.137659128m²