Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7234 / 5547
↖ ↑ ↗
← N 50.134664°
W 21.049805°		 ← 1 566.11 m → N 50.134664°
W 21.027832°		 →
↑
1 566.31 m
↓
↑
1 566.31 m
↓
N 50.120578°
W 21.049805°		 ← 1 566.57 m →
2 453 369 m²		 N 50.120578°
W 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441558837890625 y=0.338592529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441558837890625 × 214)
    floor (0.441558837890625 × 16384)
    floor (7234.5)     		tx = 7234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338592529296875 × 214)
    floor (0.338592529296875 × 16384)
    floor (5547.5)     		ty = 5547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7234 / 5547 ti = "14/7234/5547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7234/5547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7234 ÷ 214
    7234 ÷ 16384     		x = 0.4415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5547 ÷ 214
    5547 ÷ 16384     		y = 0.33856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36738840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33856201171875 × 2 - 1) × π
    0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36738840} λ = -0.36738840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01434479596039))-π/2
    2×atan(2.757556043489)-π/2
    2×1.22290564429013-π/2
    2.44581128858026-1.57079632675     		φ = 0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36738840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7234 KachelY 5547 -0.36738840 0.87501496 -21.049805 50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 7235 KachelY 5547 -0.36700490 0.87501496 -21.027832 50.134664
    Unten links KachelX 7234 KachelY + 1 5548 -0.36738840 0.87476911 -21.049805 50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 7235 KachelY + 1 5548 -0.36700490 0.87476911 -21.027832 50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87501496-0.87476911) × R
    0.000245849999999992 × 6371000     		dl = 1566.31034999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87501496-0.87476911) × R
    0.000245849999999992 × 6371000     		dr = 1566.31034999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36738840--0.36700490) × cos(0.87501496) × R
    0.000383499999999981 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 1566.10578711752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36738840--0.36700490) × cos(0.87476911) × R
    0.000383499999999981 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 1566.56679358916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87501496)-sin(0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.36700490--0.36738840)×0.000188683554344982×R²
    0.000383499999999981×0.000188683554344982×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188683554344982×40589641000000     		ar = 2453368.75551858m²