Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72338 / 96539
↖ ↑ ↗
← S 64.504733°
E 18.682251°		 ← 131.47 m → S 64.504733°
E 18.684998°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
S 64.505915°
E 18.682251°		 ← 131.46 m →
17 279 m²		 S 64.505915°
E 18.684998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551898956298828 y=0.736537933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551898956298828 × 217)
    floor (0.551898956298828 × 131072)
    floor (72338.5)     		tx = 72338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736537933349609 × 217)
    floor (0.736537933349609 × 131072)
    floor (96539.5)     		ty = 96539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72338 / 96539 ti = "17/72338/96539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72338/96539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72338 ÷ 217
    72338 ÷ 131072     		x = 0.551895141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96539 ÷ 217
    96539 ÷ 131072     		y = 0.736534118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551895141601562 × 2 - 1) × π
    0.103790283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32606679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736534118652344 × 2 - 1) × π
    -0.473068237304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4861876989206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32606679} λ = 0.32606679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4861876989206))-π/2
    2×atan(0.22623348378306)-π/2
    2×0.22248817937562-π/2
    0.444976358751239-1.57079632675     		φ = -1.12581997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32606679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.682251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12581997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.504733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72338 KachelY 96539 0.32606679 -1.12581997 18.682251 -64.504733
    Oben rechts KachelX + 1 72339 KachelY 96539 0.32611473 -1.12581997 18.684998 -64.504733
    Unten links KachelX 72338 KachelY + 1 96540 0.32606679 -1.12584060 18.682251 -64.505915
    Unten rechts KachelX + 1 72339 KachelY + 1 96540 0.32611473 -1.12584060 18.684998 -64.505915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12581997--1.12584060) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dl = 131.43373000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12581997--1.12584060) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dr = 131.43373000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32606679-0.32611473) × cos(-1.12581997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430436539571507 × 6371000     		do = 131.466398621733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32606679-0.32611473) × cos(-1.12584060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		du = 131.460711240289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12581997)-sin(-1.12584060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430436539571507-0.43041791841193)×R²
    abs(0.32611473-0.32606679)×1.86211595767372e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86211595767372e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86211595767372e-05×40589641000000     		ar = 17278.7453844871m²