Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72337 / 96540
↖ ↑ ↗
← S 64.505915°
E 18.679504°		 ← 131.46 m → S 64.505915°
E 18.682251°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
S 64.507097°
E 18.679504°		 ← 131.46 m →
17 278 m²		 S 64.507097°
E 18.682251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551891326904297 y=0.736545562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551891326904297 × 217)
    floor (0.551891326904297 × 131072)
    floor (72337.5)     		tx = 72337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736545562744141 × 217)
    floor (0.736545562744141 × 131072)
    floor (96540.5)     		ty = 96540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72337 / 96540 ti = "17/72337/96540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72337/96540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72337 ÷ 217
    72337 ÷ 131072     		x = 0.551887512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96540 ÷ 217
    96540 ÷ 131072     		y = 0.736541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551887512207031 × 2 - 1) × π
    0.103775024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.32601885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.47308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48623563582022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32601885} λ = 0.32601885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48623563582022))-π/2
    2×atan(0.226222639111189)-π/2
    2×0.22247786270218-π/2
    0.444955725404359-1.57079632675     		φ = -1.12584060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32601885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.679504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12584060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.505915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72337 KachelY 96540 0.32601885 -1.12584060 18.679504 -64.505915
    Oben rechts KachelX + 1 72338 KachelY 96540 0.32606679 -1.12584060 18.682251 -64.505915
    Unten links KachelX 72337 KachelY + 1 96541 0.32601885 -1.12586123 18.679504 -64.507097
    Unten rechts KachelX + 1 72338 KachelY + 1 96541 0.32606679 -1.12586123 18.682251 -64.507097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12584060--1.12586123) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dl = 131.433729999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12584060--1.12586123) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dr = 131.433729999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32601885-0.32606679) × cos(-1.12584060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		do = 131.460711240137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32601885-0.32606679) × cos(-1.12586123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430399297069169 × 6371000     		du = 131.455023802745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12584060)-sin(-1.12586123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43041791841193-0.430399297069169)×R²
    abs(0.32606679-0.32601885)×1.86213427610382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86213427610382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86213427610382e-05×40589641000000     		ar = 17277.9978666756m²