Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72330 / 78710
↖ ↑ ↗
← S 33.993473°
E 18.660279°		 ← 253.18 m → S 33.993473°
E 18.663025°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
S 33.995750°
E 18.660279°		 ← 253.17 m →
64 099 m²		 S 33.995750°
E 18.663025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551837921142578 y=0.600513458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551837921142578 × 217)
    floor (0.551837921142578 × 131072)
    floor (72330.5)     		tx = 72330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600513458251953 × 217)
    floor (0.600513458251953 × 131072)
    floor (78710.5)     		ty = 78710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72330 / 78710 ti = "17/72330/78710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72330/78710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72330 ÷ 217
    72330 ÷ 131072     		x = 0.551834106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78710 ÷ 217
    78710 ÷ 131072     		y = 0.600509643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551834106445312 × 2 - 1) × π
    0.103668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32568330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.201019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.63152071559462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32568330} λ = 0.32568330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63152071559462))-π/2
    2×atan(0.531782495866978)-π/2
    2×0.488749149428623-π/2
    0.977498298857245-1.57079632675     		φ = -0.59329803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32568330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.660279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59329803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.993473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72330 KachelY 78710 0.32568330 -0.59329803 18.660279 -33.993473
    Oben rechts KachelX + 1 72331 KachelY 78710 0.32573123 -0.59329803 18.663025 -33.993473
    Unten links KachelX 72330 KachelY + 1 78711 0.32568330 -0.59333777 18.660279 -33.995750
    Unten rechts KachelX + 1 72331 KachelY + 1 78711 0.32573123 -0.59333777 18.663025 -33.995750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59329803--0.59333777) × R
    3.97399999999548e-05 × 6371000     		dl = 253.183539999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59329803--0.59333777) × R
    3.97399999999548e-05 × 6371000     		dr = 253.183539999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32568330-0.32573123) × cos(-0.59329803) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829101268014556 × 6371000     		do = 253.176046276361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32568330-0.32573123) × cos(-0.59333777) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829079048787096 × 6371000     		du = 253.169261367959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59329803)-sin(-0.59333777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829101268014556-0.829079048787096)×R²
    abs(0.32573123-0.32568330)×2.22192274597077e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22192274597077e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22192274597077e-05×40589641000000     		ar = 64099.1487341707m²