Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72327 / 78712
↖ ↑ ↗
← S 33.998027°
E 18.652039°		 ← 253.16 m → S 33.998027°
E 18.654785°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 34.000304°
E 18.652039°		 ← 253.16 m →
64 112 m²		 S 34.000304°
E 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551815032958984 y=0.600528717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551815032958984 × 217)
    floor (0.551815032958984 × 131072)
    floor (72327.5)     		tx = 72327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600528717041016 × 217)
    floor (0.600528717041016 × 131072)
    floor (78712.5)     		ty = 78712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72327 / 78712 ti = "17/72327/78712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72327/78712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72327 ÷ 217
    72327 ÷ 131072     		x = 0.551811218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78712 ÷ 217
    78712 ÷ 131072     		y = 0.60052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551811218261719 × 2 - 1) × π
    0.103622436523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.32553949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63161658939386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32553949} λ = 0.32553949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63161658939386))-π/2
    2×atan(0.531731514302667)-π/2
    2×0.488709405949542-π/2
    0.977418811899084-1.57079632675     		φ = -0.59337751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32553949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.652039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59337751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.998027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72327 KachelY 78712 0.32553949 -0.59337751 18.652039 -33.998027
    Oben rechts KachelX + 1 72328 KachelY 78712 0.32558742 -0.59337751 18.654785 -33.998027
    Unten links KachelX 72327 KachelY + 1 78713 0.32553949 -0.59341726 18.652039 -34.000304
    Unten rechts KachelX + 1 72328 KachelY + 1 78713 0.32558742 -0.59341726 18.654785 -34.000304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59337751--0.59341726) × R
    3.9749999999894e-05 × 6371000     		dl = 253.247249999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59337751--0.59341726) × R
    3.9749999999894e-05 × 6371000     		dr = 253.247249999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32553949-0.32558742) × cos(-0.59337751) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.829056828250299 × 6371000     		do = 253.162476060028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32553949-0.32558742) × cos(-0.59341726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.829034600812226 × 6371000     		du = 253.155688644416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59337751)-sin(-0.59341726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829056828250299-0.829034600812226)×R²
    abs(0.32558742-0.32553949)×2.22274380730081e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22274380730081e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22274380730081e-05×40589641000000     		ar = 64111.8414265674m²