Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72326 / 78713
↖ ↑ ↗
← S 34.000304°
E 18.649292°		 ← 253.21 m → S 34.000304°
E 18.652039°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
S 34.002581°
E 18.649292°		 ← 253.20 m →
64 107 m²		 S 34.002581°
E 18.652039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551807403564453 y=0.600536346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551807403564453 × 217)
    floor (0.551807403564453 × 131072)
    floor (72326.5)     		tx = 72326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600536346435547 × 217)
    floor (0.600536346435547 × 131072)
    floor (78713.5)     		ty = 78713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72326 / 78713 ti = "17/72326/78713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72326/78713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72326 ÷ 217
    72326 ÷ 131072     		x = 0.551803588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78713 ÷ 217
    78713 ÷ 131072     		y = 0.600532531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551803588867188 × 2 - 1) × π
    0.103607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32549155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600532531738281 × 2 - 1) × π
    -0.201065063476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.63166452629348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32549155} λ = 0.32549155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63166452629348))-π/2
    2×atan(0.531706025353376)-π/2
    2×0.488689535008953-π/2
    0.977379070017905-1.57079632675     		φ = -0.59341726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32549155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.649292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59341726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.000304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72326 KachelY 78713 0.32549155 -0.59341726 18.649292 -34.000304
    Oben rechts KachelX + 1 72327 KachelY 78713 0.32553949 -0.59341726 18.652039 -34.000304
    Unten links KachelX 72326 KachelY + 1 78714 0.32549155 -0.59345700 18.649292 -34.002581
    Unten rechts KachelX + 1 72327 KachelY + 1 78714 0.32553949 -0.59345700 18.652039 -34.002581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59341726--0.59345700) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dl = 253.183540000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59341726--0.59345700) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dr = 253.183540000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32549155-0.32553949) × cos(-0.59341726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829034600812226 × 6371000     		do = 253.208506438513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32549155-0.32553949) × cos(-0.59345700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829012377656529 × 6371000     		du = 253.201718914739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59341726)-sin(-0.59345700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829034600812226-0.829012377656529)×R²
    abs(0.32553949-0.32549155)×2.22231556968877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22231556968877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22231556968877e-05×40589641000000     		ar = 64107.3667820693m²