Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72324 / 78725
↖ ↑ ↗
← S 34.027624°
E 18.643799°		 ← 253.13 m → S 34.027624°
E 18.646545°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 34.029900°
E 18.643799°		 ← 253.12 m →
64 054 m²		 S 34.029900°
E 18.646545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551792144775391 y=0.600627899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551792144775391 × 217)
    floor (0.551792144775391 × 131072)
    floor (72324.5)     		tx = 72324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600627899169922 × 217)
    floor (0.600627899169922 × 131072)
    floor (78725.5)     		ty = 78725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72324 / 78725 ti = "17/72324/78725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72324/78725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72324 ÷ 217
    72324 ÷ 131072     		x = 0.551788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78725 ÷ 217
    78725 ÷ 131072     		y = 0.600624084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551788330078125 × 2 - 1) × π
    0.10357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32539567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600624084472656 × 2 - 1) × π
    -0.201248168945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.632239769088921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32539567} λ = 0.32539567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632239769088921))-π/2
    2×atan(0.531400253248032)-π/2
    2×0.488451125274015-π/2
    0.97690225054803-1.57079632675     		φ = -0.59389408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32539567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.643799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59389408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.027624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72324 KachelY 78725 0.32539567 -0.59389408 18.643799 -34.027624
    Oben rechts KachelX + 1 72325 KachelY 78725 0.32544361 -0.59389408 18.646545 -34.027624
    Unten links KachelX 72324 KachelY + 1 78726 0.32539567 -0.59393380 18.643799 -34.029900
    Unten rechts KachelX + 1 72325 KachelY + 1 78726 0.32544361 -0.59393380 18.646545 -34.029900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59389408--0.59393380) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59389408--0.59393380) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32539567-0.32544361) × cos(-0.59389408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.828767870117802 × 6371000     		do = 253.127040018788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32539567-0.32544361) × cos(-0.59393380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.828745642448119 × 6371000     		du = 253.120251116326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59389408)-sin(-0.59393380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828767870117802-0.828745642448119)×R²
    abs(0.32544361-0.32539567)×2.22276696830725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22276696830725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22276696830725e-05×40589641000000     		ar = 64054.487636088m²