Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72323 / 78727
↖ ↑ ↗
← S 34.032176°
E 18.641052°		 ← 253.06 m → S 34.032176°
E 18.643799°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
S 34.034453°
E 18.641052°		 ← 253.05 m →
64 054 m²		 S 34.034453°
E 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551784515380859 y=0.600643157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551784515380859 × 217)
    floor (0.551784515380859 × 131072)
    floor (72323.5)     		tx = 72323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600643157958984 × 217)
    floor (0.600643157958984 × 131072)
    floor (78727.5)     		ty = 78727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72323 / 78727 ti = "17/72323/78727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72323/78727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72323 ÷ 217
    72323 ÷ 131072     		x = 0.551780700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78727 ÷ 217
    78727 ÷ 131072     		y = 0.600639343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551780700683594 × 2 - 1) × π
    0.103561401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32534774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600639343261719 × 2 - 1) × π
    -0.201278686523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.632335642888161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32534774} λ = 0.32534774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632335642888161))-π/2
    2×atan(0.531349308329016)-π/2
    2×0.488411397777463-π/2
    0.976822795554926-1.57079632675     		φ = -0.59397353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32534774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.641052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59397353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.032176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72323 KachelY 78727 0.32534774 -0.59397353 18.641052 -34.032176
    Oben rechts KachelX + 1 72324 KachelY 78727 0.32539567 -0.59397353 18.643799 -34.032176
    Unten links KachelX 72323 KachelY + 1 78728 0.32534774 -0.59401326 18.641052 -34.034453
    Unten rechts KachelX + 1 72324 KachelY + 1 78728 0.32539567 -0.59401326 18.643799 -34.034453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59397353--0.59401326) × R
    3.97300000000156e-05 × 6371000     		dl = 253.119830000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59397353--0.59401326) × R
    3.97300000000156e-05 × 6371000     		dr = 253.119830000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32534774-0.32539567) × cos(-0.59397353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.828723407874358 × 6371000     		do = 253.060662137187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32534774-0.32539567) × cos(-0.59401326) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.82870117199248 × 6371000     		du = 253.053872143158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59397353)-sin(-0.59401326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828723407874358-0.82870117199248)×R²
    abs(0.32539567-0.32534774)×2.22358818784407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22358818784407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22358818784407e-05×40589641000000     		ar = 64053.8124472424m²