Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72322 / 78724
↖ ↑ ↗
← S 34.025348°
E 18.638306°		 ← 253.13 m → S 34.025348°
E 18.641052°		 →
↑
253.12 m
↓
↑
253.12 m
↓
S 34.027624°
E 18.638306°		 ← 253.13 m →
64 072 m²		 S 34.027624°
E 18.641052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551776885986328 y=0.600620269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551776885986328 × 217)
    floor (0.551776885986328 × 131072)
    floor (72322.5)     		tx = 72322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600620269775391 × 217)
    floor (0.600620269775391 × 131072)
    floor (78724.5)     		ty = 78724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72322 / 78724 ti = "17/72322/78724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72322/78724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72322 ÷ 217
    72322 ÷ 131072     		x = 0.551773071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78724 ÷ 217
    78724 ÷ 131072     		y = 0.600616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551773071289062 × 2 - 1) × π
    0.103546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32529980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.20123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.632191832189301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32529980} λ = 0.32529980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632191832189301))-π/2
    2×atan(0.531425727539204)-π/2
    2×0.488470989821593-π/2
    0.976941979643185-1.57079632675     		φ = -0.59385435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32529980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.638306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59385435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.025348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72322 KachelY 78724 0.32529980 -0.59385435 18.638306 -34.025348
    Oben rechts KachelX + 1 72323 KachelY 78724 0.32534774 -0.59385435 18.641052 -34.025348
    Unten links KachelX 72322 KachelY + 1 78725 0.32529980 -0.59389408 18.638306 -34.027624
    Unten rechts KachelX + 1 72323 KachelY + 1 78725 0.32534774 -0.59389408 18.641052 -34.027624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59385435--0.59389408) × R
    3.97300000000156e-05 × 6371000     		dl = 253.119830000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59385435--0.59389408) × R
    3.97300000000156e-05 × 6371000     		dr = 253.119830000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32529980-0.32534774) × cos(-0.59385435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.828790102075553 × 6371000     		do = 253.133830231228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32529980-0.32534774) × cos(-0.59389408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.828767870117802 × 6371000     		du = 253.127040019081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59385435)-sin(-0.59389408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828790102075553-0.828767870117802)×R²
    abs(0.32534774-0.32529980)×2.22319577501962e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22319577501962e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22319577501962e-05×40589641000000     		ar = 64072.3327151732m²