Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72320 / 75904
↖ ↑ ↗
← S 27.371767°
E 18.632813°		 ← 271.17 m → S 27.371767°
E 18.635559°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
S 27.374206°
E 18.632813°		 ← 271.17 m →
73 545 m²		 S 27.374206°
E 18.635559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551761627197266 y=0.579105377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551761627197266 × 217)
    floor (0.551761627197266 × 131072)
    floor (72320.5)     		tx = 72320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579105377197266 × 217)
    floor (0.579105377197266 × 131072)
    floor (75904.5)     		ty = 75904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72320 / 75904 ti = "17/72320/75904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72320/75904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72320 ÷ 217
    72320 ÷ 131072     		x = 0.5517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75904 ÷ 217
    75904 ÷ 131072     		y = 0.5791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5791015625 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32520393} λ = 0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497009775260742))-π/2
    2×atan(0.608347037031202)-π/2
    2×0.546534432661832-π/2
    1.09306886532366-1.57079632675     		φ = -0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72320 KachelY 75904 0.32520393 -0.47772746 18.632813 -27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 72321 KachelY 75904 0.32525186 -0.47772746 18.635559 -27.371767
    Unten links KachelX 72320 KachelY + 1 75905 0.32520393 -0.47777003 18.632813 -27.374206
    Unten rechts KachelX + 1 72321 KachelY + 1 75905 0.32525186 -0.47777003 18.635559 -27.374206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47772746--0.47777003) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47772746--0.47777003) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32520393-0.32525186) × cos(-0.47772746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 271.174321009406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32520393-0.32525186) × cos(-0.47777003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88802247022564 × 6371000     		du = 271.168344193882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47772746)-sin(-0.47777003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.88802247022564)×R²
    abs(0.32525186-0.32520393)×1.95728837792952e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95728837792952e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95728837792952e-05×40589641000000     		ar = 73545.31809056m²