Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72310 / 94677
↖ ↑ ↗
← S 62.212915°
E 18.605347°		 ← 142.36 m → S 62.212915°
E 18.608093°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
S 62.214195°
E 18.605347°		 ← 142.35 m →
20 270 m²		 S 62.214195°
E 18.608093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551685333251953 y=0.722332000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551685333251953 × 217)
    floor (0.551685333251953 × 131072)
    floor (72310.5)     		tx = 72310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722332000732422 × 217)
    floor (0.722332000732422 × 131072)
    floor (94677.5)     		ty = 94677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72310 / 94677 ti = "17/72310/94677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72310/94677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72310 ÷ 217
    72310 ÷ 131072     		x = 0.551681518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94677 ÷ 217
    94677 ÷ 131072     		y = 0.722328186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551681518554688 × 2 - 1) × π
    0.103363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32472456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722328186035156 × 2 - 1) × π
    -0.444656372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.39692919182806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32472456} λ = 0.32472456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39692919182806))-π/2
    2×atan(0.247355379792471)-π/2
    2×0.242488064151472-π/2
    0.484976128302943-1.57079632675     		φ = -1.08582020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32472456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.605347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08582020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.212915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72310 KachelY 94677 0.32472456 -1.08582020 18.605347 -62.212915
    Oben rechts KachelX + 1 72311 KachelY 94677 0.32477249 -1.08582020 18.608093 -62.212915
    Unten links KachelX 72310 KachelY + 1 94678 0.32472456 -1.08584255 18.605347 -62.214195
    Unten rechts KachelX + 1 72311 KachelY + 1 94678 0.32477249 -1.08584255 18.608093 -62.214195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08582020--1.08584255) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dl = 142.391850000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08582020--1.08584255) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dr = 142.391850000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32472456-0.32477249) × cos(-1.08582020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466187239289312 × 6371000     		do = 142.355881749567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32472456-0.32477249) × cos(-1.08584255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466167466439018 × 6371000     		du = 142.349843871863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08582020)-sin(-1.08584255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466187239289312-0.466167466439018)×R²
    abs(0.32477249-0.32472456)×1.97728502938643e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97728502938643e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97728502938643e-05×40589641000000     		ar = 20269.8874892026m²