Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72307 / 94670
↖ ↑ ↗
← S 62.203950°
E 18.597107°		 ← 142.40 m → S 62.203950°
E 18.599853°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
S 62.205231°
E 18.597107°		 ← 142.39 m →
20 285 m²		 S 62.205231°
E 18.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551662445068359 y=0.722278594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551662445068359 × 217)
    floor (0.551662445068359 × 131072)
    floor (72307.5)     		tx = 72307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722278594970703 × 217)
    floor (0.722278594970703 × 131072)
    floor (94670.5)     		ty = 94670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72307 / 94670 ti = "17/72307/94670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72307/94670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72307 ÷ 217
    72307 ÷ 131072     		x = 0.551658630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94670 ÷ 217
    94670 ÷ 131072     		y = 0.722274780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551658630371094 × 2 - 1) × π
    0.103317260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32458075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722274780273438 × 2 - 1) × π
    -0.444549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39659363353072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32458075} λ = 0.32458075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39659363353072))-π/2
    2×atan(0.24743839587014)-π/2
    2×0.242566292260476-π/2
    0.485132584520951-1.57079632675     		φ = -1.08566374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32458075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.597107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08566374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.203950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72307 KachelY 94670 0.32458075 -1.08566374 18.597107 -62.203950
    Oben rechts KachelX + 1 72308 KachelY 94670 0.32462868 -1.08566374 18.599853 -62.203950
    Unten links KachelX 72307 KachelY + 1 94671 0.32458075 -1.08568610 18.597107 -62.205231
    Unten rechts KachelX + 1 72308 KachelY + 1 94671 0.32462868 -1.08568610 18.599853 -62.205231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08566374--1.08568610) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08566374--1.08568610) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32458075-0.32462868) × cos(-1.08566374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466325651566558 × 6371000     		do = 142.398147603524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32458075-0.32462868) × cos(-1.08568610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466305871500438 × 6371000     		du = 142.39210752238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08566374)-sin(-1.08568610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466325651566558-0.466305871500438)×R²
    abs(0.32462868-0.32458075)×1.97800661205783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97800661205783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97800661205783e-05×40589641000000     		ar = 20284.9776390293m²