Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72304 / 95952
↖ ↑ ↗
← S 63.801893°
E 18.588867°		 ← 134.81 m → S 63.801893°
E 18.591614°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
S 63.803106°
E 18.588867°		 ← 134.80 m →
18 173 m²		 S 63.803106°
E 18.591614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551639556884766 y=0.732059478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551639556884766 × 217)
    floor (0.551639556884766 × 131072)
    floor (72304.5)     		tx = 72304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732059478759766 × 217)
    floor (0.732059478759766 × 131072)
    floor (95952.5)     		ty = 95952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72304 / 95952 ti = "17/72304/95952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72304/95952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72304 ÷ 217
    72304 ÷ 131072     		x = 0.5516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95952 ÷ 217
    95952 ÷ 131072     		y = 0.7320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5516357421875 × 2 - 1) × π
    0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.464111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45804873884363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32443694} λ = 0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45804873884363))-π/2
    2×atan(0.232689870749968)-π/2
    2×0.228621607961254-π/2
    0.457243215922508-1.57079632675     		φ = -1.11355311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11355311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.801893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72304 KachelY 95952 0.32443694 -1.11355311 18.588867 -63.801893
    Oben rechts KachelX + 1 72305 KachelY 95952 0.32448487 -1.11355311 18.591614 -63.801893
    Unten links KachelX 72304 KachelY + 1 95953 0.32443694 -1.11357427 18.588867 -63.803106
    Unten rechts KachelX + 1 72305 KachelY + 1 95953 0.32448487 -1.11357427 18.591614 -63.803106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11355311--1.11357427) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11355311--1.11357427) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32443694-0.32448487) × cos(-1.11355311) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.441476200649088 × 6371000     		do = 134.810068826819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32443694-0.32448487) × cos(-1.11357427) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.441457214254427 × 6371000     		du = 134.804271102803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11355311)-sin(-1.11357427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441476200649088-0.441457214254427)×R²
    abs(0.32448487-0.32443694)×1.89863946609137e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.89863946609137e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.89863946609137e-05×40589641000000     		ar = 18173.4031141557m²