Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 723 / 347
↖ ↑ ↗
← N 81.582843°
W116.455078°		 ← 1 430.56 m → N 81.582843°
W116.367187°		 →
↑
1 431.63 m
↓
↑
1 431.63 m
↓
N 81.569968°
W116.455078°		 ← 1 432.73 m →
2 049 587 m²		 N 81.569968°
W116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1766357421875 y=0.0848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1766357421875 × 212)
    floor (0.1766357421875 × 4096)
    floor (723.5)     		tx = 723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0848388671875 × 212)
    floor (0.0848388671875 × 4096)
    floor (347.5)     		ty = 347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 723 / 347 ti = "12/723/347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/723/347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 723 ÷ 212
    723 ÷ 4096     		x = 0.176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 347 ÷ 212
    347 ÷ 4096     		y = 0.084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.64697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.03252454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084716796875 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03252454} λ = -2.03252454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6093013201189))-π/2
    2×atan(13.5895527870384)-π/2
    2×1.49734277804315-π/2
    2.9946855560863-1.57079632675     		φ = 1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03252454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 723 KachelY 347 -2.03252454 1.42388923 -116.455078 81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 724 KachelY 347 -2.03099056 1.42388923 -116.367187 81.582843
    Unten links KachelX 723 KachelY + 1 348 -2.03252454 1.42366452 -116.455078 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 724 KachelY + 1 348 -2.03099056 1.42366452 -116.367187 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42388923-1.42366452) × R
    0.000224709999999906 × 6371000     		dl = 1431.6274099994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42388923-1.42366452) × R
    0.000224709999999906 × 6371000     		dr = 1431.6274099994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03252454--2.03099056) × cos(1.42388923) × R
    0.00153398000000005 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 1430.56243946399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03252454--2.03099056) × cos(1.42366452) × R
    0.00153398000000005 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 1432.73483608245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42388923)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.14660153519646)×R²
    abs(-2.03099056--2.03252454)×0.00022228584892342×R²
    0.00153398000000005×0.00022228584892342×6371000²
    0.00153398000000005×0.00022228584892342×40589641000000     		ar = 2049587.43995106m²