Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72299 / 77301
↖ ↑ ↗
← S 30.725310°
E 18.575134°		 ← 262.55 m → S 30.725310°
E 18.577881°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.727671°
E 18.575134°		 ← 262.55 m →
68 932 m²		 S 30.727671°
E 18.577881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551601409912109 y=0.589763641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551601409912109 × 217)
    floor (0.551601409912109 × 131072)
    floor (72299.5)     		tx = 72299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589763641357422 × 217)
    floor (0.589763641357422 × 131072)
    floor (77301.5)     		ty = 77301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72299 / 77301 ti = "17/72299/77301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72299/77301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72299 ÷ 217
    72299 ÷ 131072     		x = 0.551597595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77301 ÷ 217
    77301 ÷ 131072     		y = 0.589759826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551597595214844 × 2 - 1) × π
    0.103195190429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.32419725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589759826660156 × 2 - 1) × π
    -0.179519653320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.563977624029961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32419725} λ = 0.32419725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.563977624029961))-π/2
    2×atan(0.568941521655136)-π/2
    2×0.517269252776606-π/2
    1.03453850555321-1.57079632675     		φ = -0.53625782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32419725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.575134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53625782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.725310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72299 KachelY 77301 0.32419725 -0.53625782 18.575134 -30.725310
    Oben rechts KachelX + 1 72300 KachelY 77301 0.32424519 -0.53625782 18.577881 -30.725310
    Unten links KachelX 72299 KachelY + 1 77302 0.32419725 -0.53629903 18.575134 -30.727671
    Unten rechts KachelX + 1 72300 KachelY + 1 77302 0.32424519 -0.53629903 18.577881 -30.727671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53625782--0.53629903) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53625782--0.53629903) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32419725-0.32424519) × cos(-0.53625782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859626660667433 × 6371000     		do = 262.552108958212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32419725-0.32424519) × cos(-0.53629903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85960560481308 × 6371000     		du = 262.545677958314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53625782)-sin(-0.53629903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859626660667433-0.85960560481308)×R²
    abs(0.32424519-0.32419725)×2.10558543529693e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10558543529693e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10558543529693e-05×40589641000000     		ar = 68931.9258088138m²