Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72296 / 94671
↖ ↑ ↗
← S 62.205231°
E 18.566894°		 ← 142.42 m → S 62.205231°
E 18.569641°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
S 62.206512°
E 18.566894°		 ← 142.42 m →
20 279 m²		 S 62.206512°
E 18.569641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551578521728516 y=0.722286224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551578521728516 × 217)
    floor (0.551578521728516 × 131072)
    floor (72296.5)     		tx = 72296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722286224365234 × 217)
    floor (0.722286224365234 × 131072)
    floor (94671.5)     		ty = 94671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72296 / 94671 ti = "17/72296/94671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72296/94671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72296 ÷ 217
    72296 ÷ 131072     		x = 0.55157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94671 ÷ 217
    94671 ÷ 131072     		y = 0.722282409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55157470703125 × 2 - 1) × π
    0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722282409667969 × 2 - 1) × π
    -0.444564819335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.39664157043034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32405344} λ = 0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39664157043034))-π/2
    2×atan(0.247426534724891)-π/2
    2×0.242555115394533-π/2
    0.485110230789066-1.57079632675     		φ = -1.08568610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08568610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.205231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72296 KachelY 94671 0.32405344 -1.08568610 18.566894 -62.205231
    Oben rechts KachelX + 1 72297 KachelY 94671 0.32410138 -1.08568610 18.569641 -62.205231
    Unten links KachelX 72296 KachelY + 1 94672 0.32405344 -1.08570845 18.566894 -62.206512
    Unten rechts KachelX + 1 72297 KachelY + 1 94672 0.32410138 -1.08570845 18.569641 -62.206512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08568610--1.08570845) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dl = 142.391850000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08568610--1.08570845) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dr = 142.391850000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32405344-0.32410138) × cos(-1.08568610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466305871500438 × 6371000     		do = 142.421815869273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32405344-0.32410138) × cos(-1.08570845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466286100047518 × 6371000     		du = 142.415777158634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08568610)-sin(-1.08570845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466305871500438-0.466286100047518)×R²
    abs(0.32410138-0.32405344)×1.97714529195925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97714529195925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97714529195925e-05×40589641000000     		ar = 20279.2759113482m²