Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72292 / 78628
↖ ↑ ↗
← S 33.806538°
E 18.555908°		 ← 253.78 m → S 33.806538°
E 18.558655°		 →
↑
253.76 m
↓
↑
253.76 m
↓
S 33.808820°
E 18.555908°		 ← 253.78 m →
64 399 m²		 S 33.808820°
E 18.558655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551548004150391 y=0.599887847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551548004150391 × 217)
    floor (0.551548004150391 × 131072)
    floor (72292.5)     		tx = 72292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599887847900391 × 217)
    floor (0.599887847900391 × 131072)
    floor (78628.5)     		ty = 78628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72292 / 78628 ti = "17/72292/78628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72292/78628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72292 ÷ 217
    72292 ÷ 131072     		x = 0.551544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78628 ÷ 217
    78628 ÷ 131072     		y = 0.599884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551544189453125 × 2 - 1) × π
    0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.19976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.627589889825775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32386169} λ = 0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627589889825775))-π/2
    2×atan(0.533876953983263)-π/2
    2×0.490380464785607-π/2
    0.980760929571214-1.57079632675     		φ = -0.59003540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59003540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.806538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72292 KachelY 78628 0.32386169 -0.59003540 18.555908 -33.806538
    Oben rechts KachelX + 1 72293 KachelY 78628 0.32390963 -0.59003540 18.558655 -33.806538
    Unten links KachelX 72292 KachelY + 1 78629 0.32386169 -0.59007523 18.555908 -33.808820
    Unten rechts KachelX + 1 72293 KachelY + 1 78629 0.32390963 -0.59007523 18.558655 -33.808820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59003540--0.59007523) × R
    3.9829999999963e-05 × 6371000     		dl = 253.756929999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59003540--0.59007523) × R
    3.9829999999963e-05 × 6371000     		dr = 253.756929999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32386169-0.32390963) × cos(-0.59003540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830920983399306 × 6371000     		do = 253.784656236388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32386169-0.32390963) × cos(-0.59007523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830898821709073 × 6371000     		du = 253.777887485749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59003540)-sin(-0.59007523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830920983399306-0.830898821709073)×R²
    abs(0.32390963-0.32386169)×2.21616902327249e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21616902327249e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21616902327249e-05×40589641000000     		ar = 64398.7564475232m²