Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72291 / 95839
↖ ↑ ↗
← S 63.664542°
E 18.553162°		 ← 135.47 m → S 63.664542°
E 18.555908°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.665760°
E 18.553162°		 ← 135.46 m →
18 357 m²		 S 63.665760°
E 18.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551540374755859 y=0.731197357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551540374755859 × 217)
    floor (0.551540374755859 × 131072)
    floor (72291.5)     		tx = 72291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731197357177734 × 217)
    floor (0.731197357177734 × 131072)
    floor (95839.5)     		ty = 95839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72291 / 95839 ti = "17/72291/95839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72291/95839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72291 ÷ 217
    72291 ÷ 131072     		x = 0.551536560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95839 ÷ 217
    95839 ÷ 131072     		y = 0.731193542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551536560058594 × 2 - 1) × π
    0.103073120117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32381376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731193542480469 × 2 - 1) × π
    -0.462387084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45263186918656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32381376} λ = 0.32381376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45263186918656))-π/2
    2×atan(0.233953741471397)-π/2
    2×0.229820226863503-π/2
    0.459640453727006-1.57079632675     		φ = -1.11115587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32381376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.553162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11115587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.664542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72291 KachelY 95839 0.32381376 -1.11115587 18.553162 -63.664542
    Oben rechts KachelX + 1 72292 KachelY 95839 0.32386169 -1.11115587 18.555908 -63.664542
    Unten links KachelX 72291 KachelY + 1 95840 0.32381376 -1.11117714 18.553162 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 72292 KachelY + 1 95840 0.32386169 -1.11117714 18.555908 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11115587--1.11117714) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11115587--1.11117714) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32381376-0.32386169) × cos(-1.11115587) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443625908690682 × 6371000     		do = 135.466508038307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32381376-0.32386169) × cos(-1.11117714) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 135.460687065197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11115587)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443625908690682-0.443606846159856)×R²
    abs(0.32386169-0.32381376)×1.90625308260084e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90625308260084e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90625308260084e-05×40589641000000     		ar = 18356.830597302m²