Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72289 / 77321
↖ ↑ ↗
← S 30.772519°
E 18.547668°		 ← 262.42 m → S 30.772519°
E 18.550415°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
S 30.774879°
E 18.547668°		 ← 262.42 m →
68 848 m²		 S 30.774879°
E 18.550415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551525115966797 y=0.589916229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551525115966797 × 217)
    floor (0.551525115966797 × 131072)
    floor (72289.5)     		tx = 72289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589916229248047 × 217)
    floor (0.589916229248047 × 131072)
    floor (77321.5)     		ty = 77321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72289 / 77321 ti = "17/72289/77321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72289/77321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72289 ÷ 217
    72289 ÷ 131072     		x = 0.551521301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77321 ÷ 217
    77321 ÷ 131072     		y = 0.589912414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551521301269531 × 2 - 1) × π
    0.103042602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.32371788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589912414550781 × 2 - 1) × π
    -0.179824829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.564936362022362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32371788} λ = 0.32371788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564936362022362))-π/2
    2×atan(0.568396317198745)-π/2
    2×0.516857275364064-π/2
    1.03371455072813-1.57079632675     		φ = -0.53708178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32371788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.547668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53708178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.772519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72289 KachelY 77321 0.32371788 -0.53708178 18.547668 -30.772519
    Oben rechts KachelX + 1 72290 KachelY 77321 0.32376582 -0.53708178 18.550415 -30.772519
    Unten links KachelX 72289 KachelY + 1 77322 0.32371788 -0.53712296 18.547668 -30.774879
    Unten rechts KachelX + 1 72290 KachelY + 1 77322 0.32376582 -0.53712296 18.550415 -30.774879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53708178--0.53712296) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dl = 262.357780000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53708178--0.53712296) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dr = 262.357780000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32371788-0.32376582) × cos(-0.53708178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859205389043481 × 6371000     		do = 262.423441760421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32371788-0.32376582) × cos(-0.53712296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859184319357662 × 6371000     		du = 262.417006536038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53708178)-sin(-0.53712296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859205389043481-0.859184319357662)×R²
    abs(0.32376582-0.32371788)×2.10696858180537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10696858180537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10696858180537e-05×40589641000000     		ar = 68847.9874443928m²