Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72287 / 95647
↖ ↑ ↗
← S 63.429632°
E 18.542175°		 ← 136.62 m → S 63.429632°
E 18.544922°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.430860°
E 18.542175°		 ← 136.61 m →
18 661 m²		 S 63.430860°
E 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551509857177734 y=0.729732513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551509857177734 × 217)
    floor (0.551509857177734 × 131072)
    floor (72287.5)     		tx = 72287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729732513427734 × 217)
    floor (0.729732513427734 × 131072)
    floor (95647.5)     		ty = 95647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72287 / 95647 ti = "17/72287/95647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72287/95647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72287 ÷ 217
    72287 ÷ 131072     		x = 0.551506042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95647 ÷ 217
    95647 ÷ 131072     		y = 0.729728698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551506042480469 × 2 - 1) × π
    0.103012084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.32362201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729728698730469 × 2 - 1) × π
    -0.459457397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44342798445951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32362201} λ = 0.32362201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44342798445951))-π/2
    2×atan(0.236116964496243)-π/2
    2×0.231870205141148-π/2
    0.463740410282296-1.57079632675     		φ = -1.10705592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32362201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.542175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10705592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.429632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72287 KachelY 95647 0.32362201 -1.10705592 18.542175 -63.429632
    Oben rechts KachelX + 1 72288 KachelY 95647 0.32366995 -1.10705592 18.544922 -63.429632
    Unten links KachelX 72287 KachelY + 1 95648 0.32362201 -1.10707736 18.542175 -63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 72288 KachelY + 1 95648 0.32366995 -1.10707736 18.544922 -63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10705592--1.10707736) × R
    2.14399999998172e-05 × 6371000     		dl = 136.594239998835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10705592--1.10707736) × R
    2.14399999998172e-05 × 6371000     		dr = 136.594239998835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32362201-0.32366995) × cos(-1.10705592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447296594444564 × 6371000     		do = 136.615893357621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32362201-0.32366995) × cos(-1.10707736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 136.610036595507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10705592)-sin(-1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447296594444564-0.447277418712637)×R²
    abs(0.32366995-0.32362201)×1.91757319267238e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91757319267238e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91757319267238e-05×40589641000000     		ar = 18660.5441255247m²